Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 10ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 88

88. A plataforma tem massa de e centro de massa localizado em . Se ela é erguida utilizando-se os três cabos, determine a força em cada um dos cabos. Encontre cada força utilizando uma única equação de momento para o equilíbrio.

Passo 1

Para fazer o que o enunciado pede teremos que usar certos macetes.

Primeiro vamos definir um eixo que passa por e , com isso, se utilizarmos a equação de equilíbrio referente ao momento em relação a esse eixo na forma escalar, as forças dos cabos e não contribuem para o cálculo do momento, pois suas linhas de ação passam por esse eixo e assim encontramos a força no cabo .

Para achar a força do cabo vamos utilizar a equação de equilíbrio do momento em relação a um eixo , calculando na forma vetorial que é mais fácil para essa situação, faremos isso pois as forças dos cabos e não contribuem para o cálculo do momento, pois suas linhas de ação passam por esse eixo e assim encontramos a força no cabo .

E por último para achar a força do cabo vamos utilizar a equação de equilíbrio do momento em relação a um eixo , calculando na forma vetorial que é mais fácil para essa situação, faremos isso pois as forças dos cabos e não contribuem para o cálculo do momento, pois suas linhas de ação passam por esse eixo e assim encontramos a força no cabo .

Pronto, dessa forma encontraremos cada força com uma equação diferente.

O cálculo do momento da força na forma vetorial é dado da seguinte maneira:

Onde:

representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

são as componentes da força aplicada.

Teremos que fazer essa conta para força peso da plataforma também.

Passo 2

Para saber as coordenadas do vetor posição de cada força e da força peso, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção a parti do eixo de rotação para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

Por que dois vetores posição para força peso? Tem dois pois para cada eixo de rotação teremos um vetor posição diferente para a força peso.

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação, é dado por:

Para o eixo de rotação :

Onde é o vetor que sai do ponto até o ponto . Assim:

Logo:

Para o eixo de rotação :

Onde é o vetor que sai do ponto até o ponto . Assim:

Logo:

Agora temos tudo que precisamos.

Passo 3

Vamos então primeiro calcular o momento em relação ao eixo mencionado no passo , então:

Passo 4

Agora vamos analisar o momento referente ao momento em relação ao eixo .

Passo 5