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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 43

43. Se o bloco é submetido à força periódica F = F 0 cos ⁡ ω t ,   demonstre que a equação de movimento diferencial é y ¨ + k m y = F 0 m cos ⁡ ω t , onde y é medido a partir da posição de equilibro do bloco. Qual é a solução geral dessa equação?

Passo 1

Aplicando a segunda lei de Newton ao nosso sistema, vem que:

∑ F y = m a y

F 0 cos ⁡ ω t + W - k δ s t - k y = m y ¨

Como W = k δ s t ,

y ¨ + k m y = F 0 m cos ⁡ ω t

Passo 2

A solução geral da equação diferencial acima é da seguinte forma:

y = y c + y p

A solução complementar é:

y c = A sin ⁡ p y + B cos ⁡ p y

A solução particular é dada por:

s c = C cos ⁡ ω t

Passo 3

Substituindo a solução particular na equação diferencial :

C - ω 2 + k m cos ⁡ ω t = F 0 m cos ⁡ ω t

C = F 0 m k m - ω 2

y = y c + y p

y = A sin ⁡ p y + B cos ⁡ p y + F 0 k - ω 2 m cos ⁡ ω t

Resposta

y = A sin ⁡ p y + B cos ⁡ p y + F 0 k - ω 2 m cos ⁡ ω t

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