Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 7
Um cabo de comprimento e massa por unidade de comprimento e esticado sob uma tensao . Uma extremidade do cabo é fixa, e a outra extremidade esta conectada a um pino que pode se mover em uma fenda desprovida de atrito. Determine as frequências naturais de vibração do cabo
Passo 1
E aí, galerinha!
Bom! Bora lá! Vamos começar fazendo um esboço desse nosso problema!
Que beleza de desenho hein!
Agora se liga! A gente sabe que para vbração transversal de uma corda, temos a seguinte equação...
E como condições iniciais, temos que...
Já que em , temos o pino fixo!
Passo 2
Bora então, destrinchar a equação do deslocamento e achar o e o !
Vamos substituir ...
Que beleza! Agora é a hora da verdade!
Na outra extremidade, quando , o deslocamento vai acabar sendo diferente de zero. Mas uma coisa que a gente tem, é que pelo pino poder se movimentar dentro da fenda, a inclinação vai acabar sendo igual a zero. Logo;
Derivando
E substituindo , como :
Passo 3
Obtemos uma relação interessante aí...
Existem três chances disso aí dar zero. São elas...
Vamos trabalhar com essa última em especial.
Quando é que o cosseno dá zero?
Bom! Em geral, cossenos que dão zero são...
Ou seja, como podemos ver o cosseno dá zero quando segue a relação abaixo...
Isolando , podemos obter as frequência naturais pedidas...
Pronto! Missão cumprida!