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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 53

Se um dos componentes do movimento harmônico x t = 10 sin ⁡ ( ω t + 60 ° ) , é x 1 t = 5 sin ⁡ ω t + 30 ° , determine o outro componente.

Passo 1

Falaaa galera, vamos pra mais uma questão que é tranquila!

Nós já sabemos que:

x t = x 1 t + x 2 ( t )

E temos nos dados da questão a equação de x ( t ) e de x 1 ( t ) , portanto vamos propor inicialmente a seguinte expressão pra x 2 ( t ) :

x 2 t = A sin ⁡ ( ω t + α ° )

Vamos começar fazendo a igualdade:

10 sin ⁡ ( ω t + 60 ° ) = 5 sin ⁡ ω t + 30 ° + A sin ⁡ ( ω t + α ° )

Para tanto, nós temos que:

10 cos ⁡ 60 ° = 5 cos ⁡ 30 ° + A cos ⁡ α °

Logo, concluímos que A cos ⁡ α ° = 0,6699 .

Também temos que:

10 sin ⁡ 60 ° = 5 sin ⁡ 30 ° + A sin ⁡ α °

Nesse caso, concluímos que A sin ⁡ α ° = 6,1603 . Agora ficou fácil pra determinarmos o valor de A   e   α .

Passo 2

Usaremos trigonometria pra chegarmos ao valor das constante, dessa forma:

A = 0,6699 2 + 6,1603 2 = 6,1966

α = tan - 1 ⁡ 6,1603 0,6699 = 83,7938 °

Escrevendo x 2 ( t ) agora sabendo o valor das constantes, temos que:

x 2 t = 6,1966 sin ⁡ ( ω t + 83,7938 ° )

Resposta

x 2 t = 6,1966 sin ⁡ ( ω t + 83,7938 ° )

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