Enunciado

Considere uma membrana retangular de lados a e b apoiada ao longo de todas as bordas. Deduza uma expressão para a frequência.

Passo 1

E aí, galerinha!

Simbora lá, meus queridos!

Bom, E aí, galerinha!

Temos que para vibração transversal de uma membrana retangular, temos a seguinte equação...

W x = A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c

E como condições iniciais, temos que...

W x = 0 , t = 0

Já que em x = 0 , temos o pino fixo!

Passo 2

Bora então, destrinchar a equação do deslocamento e achar o A e o B !

Vamos substituir x = 0 ...

W x = A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c

W 0 = A cos ⁡ ω 0 c + B sen ⁡ ω 0 c = 0

A = 0

Que beleza! Agora é a hora da verdade!

Na outra extremidade, quando x = l , o deslocamento vai acabar sendo diferente de zero. Mas uma coisa que a gente tem, é que pelo pino poder se movimentar dentro da fenda, a inclinação vai acabar sendo igual a zero. Logo;

W ' x = l , t = 0

Derivando W ( x )

∂ W ( x ) ∂ x = - A ω sen ⁡ ω x c + ω B cos ⁡ ω x c c

E substituindo x = l , como A = 0 :

- A ω sen ⁡ ω l c + ω B cos ⁡ ω l c c = 0

ω B cos ⁡ ω l c = 0

Passo 3

Obtemos uma relação interessante aí...

ω B cos ⁡ ω l c = 0

Existem três chances disso aí dar zero. São elas...

ω = 0

B = 0

cos ⁡ ω l c = 0

Vamos trabalhar com essa última em especial.

Quando é que o cosseno dá zero?

Bom! Em geral, cossenos que dão zero são...

cos ⁡ π 2 = cos ⁡ 3 π 2 = cos ⁡ 5 π 2 = cos ⁡ 7 π 2 … = 0

Ou seja, como podemos ver o cosseno dá zero quando segue a relação abaixo...

ω l c = n 2 + π π 2   ; n = 0,1 , 2,3 … .

Isolando ω , podemos obter as frequência naturais pedidas...

ω n = n 2 + π c l π 2

Pronto! Missão cumprida!

Resposta

ω n = n 2 + π c l π 2

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