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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 23

Considere um sistema massa-mola-amortecedor c o m ⁡ k = 4.000   N / m , m = 10   k g e c = 40   N ⋅ s / m . Determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica F ( t ) = 200 c o s ⁡ 20 t   N e as condiçōes iniciais x 0 = 0,1   m e x ˙ 0 = 0 .

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica F ( t ) = 200 c o s ⁡ 20 t   N e as condiçōes iniciais x 0 = 0,1   m e x ˙ 0 = 0 .

k = 4000 N / m , m = 10 k g , c = 40 N - s / m , F ( t ) = 200 c o s ⁡ 20 t

F 0 = 200 N , ω = 20 r a d / s , x 0 = 0.1 m , x ˙ 0 = 0

ω n = k m = 20 r a d / s , δ s t = F 0 k = 200 4000 = 0.05

ζ = c c c = c 2 k m = 40 2 4000 ( 10 ) = 0.1

ω d = 1 - ζ 2 ω n = 1 - 0.1 2 ( 20 ) = 19.899749 r a d / s

r = ω ω n = 1

X = δ s t 1 - r 2 2 + ( 2 J r ) 2 1 / 2 = 0.05 1 - 1 2 2 + ( 2 * 0.1 * 1 ) 2 1 / 2 = 0.25

ϕ = t a n - 1 ⁡ 2 ζ r 1 - r 2 = t a n - 1 ⁡ ( ∞ ) = π 2

Passo 2

Resposta do estado estacionário Eq (3.25)

x p ( t ) = X c o s ⁡ ( ω t - ϕ ) = 0.25 c o s ⁡ 20 t - π 2 m

Resposta total Eq (3.35)

x ( t ) = x 0 e - J ω n t c o s ⁡ ω d t - ϕ 0 + x c o s ⁡ ( ω t - ϕ ) (E.1)

Usando as condições iniciais x 0  e  x ˙ 0 , E q ⋅ ( E ⋅ 1 )

x 0 c o s ⁡ ϕ 0 = x 0 - X c o s ⁡ ϕ = 0.1 - 0.25 c o s ⁡ π 2 = 0.1

X 0 s i n ⁡ ϕ 0 = 1 ω d x ˙ 0 + ζ ω n X 0 c o s ⁡ ϕ 0 - ω x s i n ⁡ ϕ

= 0 + 0.1 * 20 * 0.1 - 20 * 0.25 * s i n ⁡ π 2 / 19.899749

= - 0.241209

Passo 3

Portanto x 0 = x 0 c o s ⁡ ϕ 0 2 + x 0 s i n ⁡ ϕ 0 2 1 2 = 0.261117

ϕ 0 = t a n - 1 ⁡ x 0 s i n ⁡ ϕ 0 x 0 c o s ⁡ ϕ 0 = t a n - 1 ⁡ - 0.241209 0.1 = - 1.177783

Resposta total: x ( t ) = 0.261117 e - 2 t cos ⁡ 19.899749 t + 1.777828 + 0.25 c o s ⁡ 20 t - π 2 m

Resposta

Resposta total: x ( t ) = 0.261117 e - 2 t cos ⁡ 19.899749 t + 1.777828 + 0.25 c o s ⁡ 20 t - π 2 m

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