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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 21

Considere um sistema massa-mofa-amortecedor c o m ⁡ k = 4.000   N / m , m = 10   k g e c = 40   N . s / m . Determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica F ( t ) = 200 c o s ⁡ 10 t   N e as condições iniciais x 0 = 0,1   m e x ˙ 0 = 0

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica F ( t ) = 200 c o s ⁡ 10 t   N e as condições iniciais x 0 = 0,1   m e x ˙ 0 = 0

k = 4000 N m , m = 10 k g , c = 40 N - s m , F t = 200 cos ⁡ 10 t

F 0 = 200 N , ω = 10 r a d / s , x 0 = 0.1 m , x ˙ 0 = 0

ω n = k m = 20 r a d / s , δ s t = F 0 k = 200 4000 = 0.05 m

J = c / c c = ( c / 2 k m ) = ( 40 / 2 4000 ( 10 ) ) = 0.1

ω d = 1 - ζ 2 ω n = 1 - ( 0.1 ) 2 ( 20 ) = 19.899749 r a d / s

r = ω ω n = 10 20 = 0.5

x = δ s t / 1 - r 2 2 + ( 2 ζ r ) 2 = 0.05 1 - 0.5 2 2 + ( 2 ( 0.1 ) ( 0.5 ) ) 2 1 2

= 0.066082 m

Passo 2

ϕ = t a n - 1 ⁡ 2 ζ r 1 - r 2 = t a n - 1 ⁡ 2 * 0.1 * 0.5 1 - 0.5 2 = 0.132552 r a d

Resposta do estado estacionário Eq (3.25)

x p ( t ) = X c o s ⁡ ( ω t - ϕ )

= 0.066082 c o s ⁡ ( 10 t - 0.132552 ) m

Resposta total E q ⋅ ( 3.35 )

x ( t ) = X 0 e - ζ ω n t c o s ⁡ ω d t - ϕ 0 + X c o s ⁡ ( ω t - ϕ ) (E.1)

Passo 3

Usando as condições iniciais x 0  e  x ˙ 0 , E q ⋅ ( E ⋅ 1 ) :

x 0 = X 0 c o s ⁡ ϕ 0 + X c o s ⁡ ϕ (E.2)

Ou x 0 c o s ⁡ ϕ 0 = x 0 - X c o s ⁡ ϕ (E.3)

x ˙ 0 = - ζ ω n x 0 c o s ⁡ ϕ 0 + ω d x 0 s i n ⁡ ϕ 0 + ω X s i n ⁡ ϕ (E.4)

Ou x 0 s i n ⁡ ϕ 0 = 1 ω d x ˙ 0 + J ω n X 0 c o s ⁡ ϕ 0 - ω × s i n ⁡ ϕ (E.5)

Para valores conhecidos E q s ⋅ ( E ⋅ 3 )  e  ( E ⋅ 5 )

x 0 cos ⁡ ϕ 0 = 0.034498 , x 0 s i n ⁡ ϕ 0 = - 0.000922

Passo 4

Portanto x 0 = x 0 c o s ⁡ ϕ 0 2 + x 0 s i n ⁡ ϕ 0 2 1 2 = 0.034510

ϕ 0 = t a n - 1 ⁡ x 0 s i n ⁡ ϕ 0 x 0 c o s ⁡ ϕ 0 = - 0.026710

Então a resposta total, Eq (E.1), será

x t = 0.034510 e - 2 t cos ⁡ 19.899749 t + 0.026710 +   0.066082 c o s ⁡ ( 10 t - 0.132552 ) m (E.6)

Resposta

x t = 0.034510 e - 2 t cos ⁡ 19.899749 t + 0.026710 +   0.066082 c o s ⁡ ( 10 t - 0.132552 ) m

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