Considere um sistema massa-mola c o m ⁡ k = 4.000   N / m e m = 10   k g sujeito a uma força harmônica F ( t ) = 400 c o s ⁡ 30 t N. Determine e construa um gráfico da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais:(a) x 0 = 0,1   m , x ˙ 0 = 0 (b) x 0 = 0 , x ˙ 0 = 10   m / s (c) x 0 = 0,1   m , x ˙ 0 = 10   m / s

Passo 1

O enunciado pede pra nós determinarmos resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais:

k = 4000   N / m , m = 10   k g , F ( t ) = 400 c o s 30 t   N F 0 = 400   N , ω = 30 r a d / s ,   ω 2 = 900 ( r a d / s ) 2 ω n = k   m = 20 r a d / s , ω ω n = 1.5 > 1

Solução é dada por Eq (3.9)

x ( t ) = x 0 - F 0 k - m ω 2 c o s ⁡ ω n t + x ˙ 0 ω n s i n ⁡ ω n t

+ F 0 k - m ω 2 c o s ⁡ ω t (E.1)

Passo 2

(a) x 0 = 0.1 ,   x ˙ 0 = 0 : E q ⋅ ( E ⋅ 1 ) rende

x ( t )   = 0.1 - 400 4000 - 10 ( 900 ) c o s ⁡ 20 t + 400 4000 - 10 ( 900 ) c o s ⁡ 30 t = 0.18 c o s ⁡ 20 t - 0.08 c o s ⁡ 30 t (E.2)

Passo 3

(b)  x 0 = 0 , x ˙ 0 = 10  :

Eq (E.1) rende

x ( t ) = - 400 4000 - 10 ( 900 ) c o s ⁡ 20 t + 10 20 s i n ⁡ 20 t + 400 4000 - 10 ( 900 ) c o s ⁡ 30 t

= 0.08 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t - 0.08 c o s ⁡ 30 t (E.3)

Passo 4

(c)  x 0 = 0.1 , x ˙ 0 = 10 :

Eq (E.1) rende

x ( t ) = 0.1 - 400 4000 - 10 ( 900 ) c o s ⁡ 20 t + 10 20 s i n ⁡ 20 t + 400 4000 - 10 ( 900 ) c o s ⁡ 30 t

= 0.18 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t - 0.08 c o s ⁡ 30 t (E.4)

Resposta

(a) 0.18 c o s ⁡ 20 t - 0.08 c o s ⁡ 30 t

(b) 0.08 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t - 0.08 c o s ⁡ 30 t

(c) 0.18 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t - 0.08 c o s ⁡ 30 t

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