Enunciado

Constata-se que uma viga uniforme simplesmente apoiada em arnbas as extremidades vibra em seu primeiro modo com uma amplitude de 10 mm em seu centre. Se A = 120   m m 2 , I =   1.000   m m 4 , E   =   20,5 × 10 10   N / m 2 , p   =   7,83 ⋅ 10 3   k g / m 3 e l = 1   m , determine o máximo momento fletor na viga.

Passo 1

E aí, galerinha!

Vamos ver as possíveis equações da viga pra ver qual a gente vai usar!

Passo 2

Temos também a seguinte equação...

G J   ∂ θ ∂ x l 2 , t = - J 0 2   ∂ 2 θ ∂ t 2 l 2 , t

G J ω c ⋅ B c o s c o s   ω l 2 c   = J 0 ω 2 2 ⋅ B ω l 2 c  

Uma vez que seno dividido pelo cosseno é a tangente...

ω l 2 c   c o s c o s   ω l 2 c   = G J ω c ⋅ B J 0 ω 2 2 ⋅ B

t a n t a n   ω l 2 c   = 2 G J J 0 ω c = 2 c ω l ⋅ G J l J 0 c 2

Baseado na equação de frequência...

α t a n t a n   α   = β

Sendo que...

α = ω l 2 c

β = G J l J 0 c 2

Se as raízes da equação de frequência são dadas por...

ω n = 2 α n c l

Então, baseando na equação para θ ( x , t ) ...

θ x , t = ∑ n = 1 ∞ ω n x c   ( C n c o s c o s   ω n t   + D n ω n t   )

Como sabemos que θ x , t = 0 = 0 , então...

θ x , 0 = ∑ n = 1 ∞ ω n x c   C n c o s c o s   ω n t   + D n ω n t   = 0

∑ n = 1 ∞ ω n x c   C n c o s c o s   ω n 0   + D n ω n 0   = 0

C n = 0

Ficamos então, com...

∑ n = 1 ∞ ω n x c   ω n D n     ( i )

Derivando θ ( x , 0 ) ...

θ ˙ x , 0 = ∑ n = 1 ∞ ω n x c   ω n D n = 2 θ ˙ 0 x l     ( i i )

Multiplicando ( i ) e ( i i ) por ω n x c   e integrando de 0 até π c 2 ω n :

ω n D n ∫ 0 π c 2 ω n ω n x c   d x = 2 θ ˙ 0 l ∫ 0 π c 2 ω n x ω n x c   d x

Obtemos que...

D n = 8 c θ ˙ 0 π l ω n 2

E ficamos então, com a seguinte equação...

M ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ 8 c θ ˙ 0 π l ω n 2 ω n x c   ⋅ ω n   t

Substituindo, obtemos que...

M = π 2 l 2 E I x

M = π 2 1 2 ⋅ 20,5 ⋅ 10 10 10 3 10 12 10 1000

M = 20,2328   N ⋅ m

Resposta

M = 20,2328   N ⋅ m

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