Enunciado

Deduza uma expressão para as frequências naturais para a vibração transversal de uma viga uniforme cujas extremidades são simplesmente apoiadas.

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá! Se liga na figura abaixo!

Agora se liga! Baseado nisso aí, a gente sabe que...

W 0 , t = ∂ 2 W ∂ x 2 0 , t = W l , t = ∂ 2 W ∂ x 2 l , t = 0 ; t ≥ 0

Sendo que...

W x = C 1 cos ⁡ β x + cosh ⁡ β x + C 2 cos ⁡ β x - cosh ⁡ β x + C 3 sen ⁡ β x + senh ⁡ β x + C 4 sen ⁡ β x - senh ⁡ β x

Passo 2

Bora então, tirar a segunda derivada de W ( x ) :

d 2 W ( x ) d x = C 1 β 2 - cos ⁡ β x + cosh ⁡ β x + C 2 β 2 - cos ⁡ β x - cosh ⁡ β x + C 3 β 2 - sen ⁡ β x + senh ⁡ β x + C 4 β 2 - sen ⁡ β x - senh ⁡ β x

Em x = 0 , sabemos que W 0 = 0 . Logo;

C 1 cos ⁡ 0 + cosh ⁡ 0 + C 2 cos ⁡ 0 - cosh ⁡ 0 + C 3 sen ⁡ 0 + senh ⁡ 0 + C 4 sen ⁡ 0 - senh ⁡ 0 = 0

C 1 = 0

E também sabemos que pra x = 0 ;

d 2 W ( 0 ) d x = 0

C 1 β 2 - cos ⁡ 0 + cosh ⁡ 0 + C 2 β 2 - cos ⁡ 0 - cosh ⁡ 0 + C 3 β 2 - sen ⁡ 0 + senh ⁡ 0 + C 4 β 2 - sen ⁡ 0 - senh ⁡ 0 = 0

C 2 = 0

Passo 3

Uma vez que C 1 = C 2 = 0 , então W ( x ) fica assim;

W x = C 3 sen ⁡ β x + senh ⁡ β x + C 4 sen ⁡ β x - senh ⁡ β x

E como...

W l = 0

d 2 W ( l ) d x = 0

Então ficamos com o seguinte sisteminha...

C 3 sen ⁡ β l + senh ⁡ β l + C 4 sen ⁡ β l - senh ⁡ β l = 0 C 3 β 2 - sen ⁡ β l + senh ⁡ β l + C 4 β 2 - sen ⁡ β l - senh ⁡ β l = 0

Desde que β l ≠ 0 , então a equação de frequência fica...

sen ⁡ β l = 0

β n l = n π

E então;

ω n = n 2 π 2 l 2 E I ρ A

Resposta

ω n = n 2 π 2 l 2 E I ρ A

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