Enunciado

Constatou-se que um compressor de ar com 200 kg de massa e desbalanceamento de 0,01 kg.m tem uma grande amplitude de vibração quando funciona a 1.200 rpm. Determine a massa e a constante de elasticidade do absorvedor a ser adicionado se as frequências naturais do sistema tiverem de ser no mínimo 20% da frequência aplicada.

Passo 1

Alô Alô tranquilooo??

Só vamooo!!!

Executaremos a conversão de unidade de frequência ( ω ) de rpm para rad/s.

ω = 1200   r p m 2 π 60

ω = 125,6 r a d s

Deixe a frequência do sistema com absorvedor de vibração igual à frequência de excitação.

ω 2 = ω

ω 2 = 125,6 r a d s

Passo 2

Iremos escrever a expressão para a primeira frequência natural ( Ω 1 )

Ω 1 2 ω 2 2 = 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1

Ω 1 2 = ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1

Onde, a relação ente a massa do absorvedor e a massa do sistema inicial é μ .

Escreveremos a expressão para a frequência natural que está pelo menos 20% mais distantes da frequência de excitação.

Ω 1 2 < 0.8   ω 2

ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1 < 0.8   ω 2               ( 1 )

Passo 3

Escreveremos a expressão para a segunda frequência natural ( Ω 2 )

Ω 2 2 ω 2 2 = 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1

Ω 2 2 = ω 2 2 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1

As frequências naturais do sistemas combinado são Ω 1 2   e   Ω 2 2 .

Passo 4

Escreveremos a expressão para a frequência natural que está pelo menos 20% mais distante da frequência de excitação.

Ω 2 2 < 0.8   ω 2

ω 2 2 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1 > 1,2   ω 2               ( 2 )

Passo 5

Adicionando as expressões (1) e (2).

ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1 + 1,2   ω 2 < 0.8   ω 2 + ω 2 2 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1

2 ω 2 2 1 + μ 2 2 - 1 > 1,2   ω 2 - 0,8   ω 2

1 + μ 2 2 - 1 > 0,4

μ = 0.154

Passo 6

Calcule a massa do absorvedor m 2

m 2 = m 1 μ

Onde a m 1 é a massa inicial do sistema

m 2 = 200   k g 0.154

m 2 = 30.8   k g

Passo 7

Vamos calcular a rigidez do absorvedor (k).

k = m 2 ω 2

Substituindo

k = 30.8     k g 125.6 r a d s 2

k = 485,881   N / m    

Resposta

Portanto, a massa do absorvedor ( m 2 ) e sua rigidez ( k ) são 30.8   k g   e   485,881   N / m , respectivamente.

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