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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 15

Deduza a equação de frequência para a vibração longitudinal dos sistemas mostrados na Figura 8.25.

Passo 1

a) E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

A gente sabe que a equação 8.18 é dada por...

d 2 W d x 2 - a c 2 W = 0

Vamos começar fazendo um esboço para as coordenadas do nosso sistema...

Bom! A equação de movimento desse sistema é dada por...

u x , t = A ⏟ ~ cos ⁡ ω x c + B ⏟ ~ sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t

Passo 2

Em x = 0 , temos que...

M 1   ∂ 2 u ∂ t 2 = A E   ∂ u ∂ x

- ω 2 M 1 A ⏟ ~ = A E ω c B ⏟ ~

Isolando B :

B ⏟ ~ = - ω M 1 c A E A ⏟ ~

Em x = l , temos que...

M 2   ∂ 2 u ∂ t 2 = - A E   ∂ u ∂ x

- ω 2 M 2 A ⏟ ~ cos ⁡ ω l c + B ⏟ ~ sen ⁡ ω l c = - A E ω c - A ⏟ ~ sen ⁡ ω l c + B ⏟ ~ cos ⁡ ω l c

Separando os termos em A ⏟ ~ e B ⏟ ~ :

A ⏟ ~ - ω 2 M 2 cos ⁡ ω l c - A E ω c sen ⁡ ω l c = B ⏟ ~ - A E ω c cos ⁡ ω l c + ω 2 M 2 sen ⁡ ω l c

Ficamos com a seguinte equação de frequência:

ω 2 M 2 cos ⁡ ω l c + A E ω c sen ⁡ ω l c + ω M 1 c A E - ω 2 M 2 sen ⁡ ω l c + A E ω c cos ⁡ ω l c = 0

Passo 3

b) Para o segundo caso, vamos pegar a equação de movimento...

u x , t = A ⏟ ~ cos ⁡ ω x c + B ⏟ ~ sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t

Em x = 0 , como podemos ver, temos que...

k 1 u = A E   ∂ u ∂ x ⇒ B ⏟ ~ = - ω M 1 c A E A ⏟ ~   ( i )

Já em x = l , temos que...

k 2 u = - A E   ∂ u ∂ x

k 2 A ⏟ ~ cos ⁡ ω l c + B ⏟ ~ sen ⁡ ω l c = - A E ω c - A ⏟ ~ sen ⁡ ω l c + B ⏟ ~ cos ⁡ ω l c   ( i i )

Substituindo ( i ) em ( i i ) , temos que...

A ⏟ ~ k 2 - k 1 c A E ω cos ⁡ ω l c + k 1 k 2 c A E ω - A E ω c sen ⁡ ω l c = 0

Então, a equação de frequência vai ser dada por...

k 2 - k 1 c A E ω cos ⁡ ω l c + k 1 k 2 c A E ω - A E ω c sen ⁡ ω l c = 0

k 2 - k 1 c A E ω cos ⁡ ω l c - - k 1 k 2 c A E ω + A E ω c sen ⁡ ω l c = 0

- k 1 k 2 c A E ω + A E ω c sen ⁡ ω l c = k 2 - k 1 c A E ω cos ⁡ ω l c

Dividindo seno por cosseno, obtemos a tangente....

sen ⁡ ω l c cos ⁡ ω l c = k 2 - k 1 c A E ω - k 1 k 2 c A E ω + A E ω c

tan ⁡ ω l c = k 1 c 2 - k 2 A E ω c k 1 k 2 c 2 - A 2 E 2 ω 2

Passo 4

c)

E para este último sisteminha aqui do item (c), novamente temos a equação abaixo...

u x , t = A ⏟ ~ cos ⁡ ω x c + B ⏟ ~ sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t

Em x = 0 , sabemos a seguinte equação

k u = A E   ∂ u ∂ x ⇒ B ⏟ ~ = ω M 1 c A E A ⏟ ~   ( i i i )

Já em x = l , temos que...

A E   ∂ u ∂ x = - M 2   ∂ 2 u ∂ t 2

M A ⏟ ~ cos ⁡ ω l c + B ⏟ ~ sen ⁡ ω l c ω 2 = A E ω c - A ⏟ ~ sen ⁡ ω l c + B ⏟ ~ cos ⁡ ω l c   ( i v )

Substituindo a equação ( i i i ) em ( i v ) , chegamos à seguinte equação...

A E ω c A ⏟ ~ - sen ⁡ ω l c + k c A E ω cos ⁡ ω l c = M ω 2 A ⏟ ~ cos ⁡ ω l c + k c A E ω sen ⁡ ω l c

A E ω c - sen ⁡ ω l c + k c A E ω cos ⁡ ω l c = M ω 2 cos ⁡ ω l c + k c A E ω sen ⁡ ω l c

Separando em senos de um lado e cosseno do outro...

sen ⁡ ω l c A E ω c + M ω 2 A E ω c = cos ⁡ ω l c M ω 2 + k c A E ω ⋅ A E ω c

Dividindo seno por cosseno, obtemos a tangente...

tan ⁡ ω l c = A e ω c ( k - M ω 2 ) A 2 E 2 ω 2 - M ω 2 k c 2

Resposta

a)

ω 2 M 2 cos ⁡ ω l c + A E ω c sen ⁡ ω l c + ω M 1 c A E - ω 2 M 2 sen ⁡ ω l c + A E ω c cos ⁡ ω l c = 0

b)

tan ⁡ ω l c = k 1 c 2 - k 2 A E ω c k 1 k 2 c 2 - A 2 E 2 ω 2

c)

tan ⁡ ω l c = A e ω c ( k - M ω 2 ) A 2 E 2 ω 2 - M ω 2 k c 2

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