Enunciado

Deduza as equações de diferenças finitas para a vibração forçada de um eixo uniforme fixo-fixo sob torção, usando um total de n pontos de malha.

Passo 1

Faaaalaa galerinha, tudo na boaa?

Vamos resolver mais um exercício???

Então encoxxta!!

A equação de movimento do eixo de vibração forçada pode ser descrita da seguinte maneira

J 0 θ ¨ + k t θ = F t                           ( 1 )

Como J 0 é o momento de inércia da massa polar e k t é a constante de torção da mola.

A equação (1) pode ser reescrita como :

θ ¨ + ω n 2 θ = 1 J 0 F t                               ( 2 )

Com isso, as equações acima podem ser reescritas como,

ω n = k t J 0 1 / 2

Divida o comprimento do eixo em n-1 parte igual e denote os pontos da malha 1, 2, 3, ...., n, como mostrado na figura a seguir. Cada parte tem comprimento de h = l n - 1

Passo 2

A segunda derivada pode ser substituída pela equação de

θ ¨ i = 1 h 2 θ i + 1 - 2 θ i + θ i - 1                     ( 3 )

Ao combinarmos as equações (2) e (3), a equação de movimento pode ser expressa como:

1 h 2 θ i + 1 - 2 θ i + θ i - 1 + ω n 2 θ ¨ i = 1 J 0 F t

θ i + 1 - 2 - h 2 ω n 2 θ i + θ i - 1 = h 2 J 0 F i

E denotar a variável de h 2 ω n 2 e λ as variável de h 2 / J 0 e α , a equação acima é expressa por

θ i + 1 - 2 - h 2 ω n 2 θ i + θ i - 1 = α F i

Aplicando a equação em cada ponto da malha i = 2 ,   3 ,   4 ,   … . ,   n - 1

θ 3 - 2 - λ θ 2 + θ 1   =         α F 2

θ 4 - 2 - λ θ 3 + θ 2   =         α F 3

θ 5 - 2 - λ θ 4 + θ 3   =       α F 4

                            ⋮                                                 ⋮                   ⋮

θ n - 2 - λ θ n - 1 + θ n - 2 = α F n - 1

Podemos expressar como matriz:

       

Passo 3

Condição de contorno

Fim fixo fim fixo. O deslocamento angular é zero em ambas as extremidades fixas

θ 1 = θ n = 0

Portanto, a equação da matriz pode ser reescrita como:

Obtendo a equação final como

A + λ I θ → = α F →     ( 4 )

Com esta matriz surgiu

O problema de autovalores da equação (4) pode ser resolvido facilmente, uma vez que a matriz [A] é uma matriz tri diagonal, portanto comprovado.

Resposta

Vide o passo a passo.

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