Enunciado

Deduza as equações (E.7) e (E.8) do exemplo 8.10

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Mão na massa!

Esse exercício aqui é no mesmo esquema que o anterior!

Bem! Do exemplo 8.10 , sabemos que a equação de momento é dada por...

M = E I   ∂ 2 w ∂ x 2

E pegando as equações 8.99 e 8.100 , temos que...

∂ V ∂ x = - ρ A ∂ 2 w ∂ t 2 + f

∂ M ∂ x - V = ρ I ∂ 2 ϕ ∂ t 2

∂ 2 w ∂ x 2 - ∂ V ∂ x = ρ I ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2

Passo 2

Dessa forma, ficamos com...

E I ∂ 4 w ∂ x 4 + ρ A ∂ 2 w ∂ t 2 - ρ I ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 - f = 0

No caso de f = 0 , que é o que a gente quer, a equação acima vira ...

E I ρ A ∂ 4 w ∂ x 4 + ∂ 2 w ∂ t 2 - I A ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 = 0

Se w x , t , então é dado por...

w x , t = C sen ⁡ n π x l cos ⁡ ω n t

E a equação anterior vira...

α 2 n π l 4 - ω n 2 - r 2 n π l 2 ω n 2 = 0

ω n 2 1 + n π l 2 = α 2 n π l 4

ω n 2 = α 2 n 4 π 4 l 4 1 + n 2 π 2 l 2 l 2

Resposta

ω n 2 = α 2 n 4 π 4 l 4 1 + n 2 π 2 l 2 l 2

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