Enunciado

Prove que a constante a na Equação (8.82) é positiva para condições de contorno comuns.

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Mão na massa!

Bem! Multiplicando a equação 8.83 por W ( x ) como é pedido e integrando de 0 a l :

∫ 0 l W ( x ) d 4 W d x 4 d x = ω 2 c 2 ∫ 0 l W x 2 d x

Passo 2

Dessa forma, usando integração por partes...

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Temos que...

d 3 W ( x ) d x 3 ⋅ W x 0 l - d 2 W x d x 2 ⋅ d W x d x 0 l + ∫ 0 l d 2 W d x 2 x 2 d x

Bom! Os dois primeiros termos dessa equação baseado nas condições de contorno dão zero. Então...

ω 2   é   p o s i t i v o

Pelo que...

W x = d W d x = 0

d 3 W ( x ) d x 3 = d 2 W x d x 2 = 0

Resposta

W x = d W d x = 0

d 3 W ( x ) d x 3 = d 2 W x d x 2 = 0

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