Enunciado

Deduza as equações de movimento do sistema mostrado na Figura 5.10(a), utilizando equações de Lagrange com:

  1. x 1     e     x 2 como coordenadas generalizadas.
  2. x     e       θ como coordenadas generalizadas.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

  1. x 1     e     x 2 como coordenadas generalizadas
  2. Nós sabemos que x 1 = x - l 1 θ       e         x 2 = x + l 2 θ ,

    E também:

    x = x 1 l 2 + x 2 l 1 l 1 + l 2

    θ = x 2 - x 1 l 1 + l 2

    Da fórmula da energia cinética, nós temos:

    T = 1 2 m x 2 ˙ + 1 2 J 0 θ 2 ˙ = 1 2 m x 1 ˙ l 2 + x 2 ˙ l 1 l 1 + l 2 2 + J 0 x 2 - x 1 ˙ ˙ l 1 + l 2 2

    δ T δ x 1 = 0 ,               δ T δ x 1 ˙ = m 2 l 1 + l 2 2 2 l 2 2 x 1 ˙ + 2   l 1 l 2 x 2 ˙ + J 0 2 R 1 + R 2 2 ( 2 x 1 ˙ - 2 x 2 ) ˙

    d d t δ T δ x 1 ˙ = m l 1 + l 2 2 l 2 2 x 1 ¨ + l 1 l 2 x 2 ¨ + J 0 l 1 + l 2 2 ( x 1 ¨ - x 2 ) ¨

    δ T δ x 2 = 0 ,               δ T δ x 2 ˙ = m 2 l 1 + l 2 2 2 l 1 2 x 2 ˙ + 2   l 1 l 2 x 1 ˙ + J 0 2 R 1 + R 2 2 ( 2 x 2 ˙ - 2 x 1 ) ˙

    d d t δ T δ x 2 ˙ = m l 1 + l 2 2 l 1 2 x 2 ¨ + l 1 l 2 x 1 ¨ + J 0 l 1 + l 2 2 ( x 2 ¨ - x 1 ) ¨

    Agora podemos tratar da energia potencial, então temos:

    V = 1 2 k   x 1 2 + 1 2 k   x 2 2

    δ V δ x 1 = k 1 x 1         e       δ V δ x 2 = k 2 x 2

    A equação de Lagrange nos dá:

    m l 1 + l 2 2 l 2 2 x 1 ¨ + l 1 l 2 x 2 ¨ + J 0 l 1 + l 2 2 ( x 1 ¨ - x 2 ) ¨ + k 1 x 1 = 0

    m l 1 + l 2 2 l 1 2 x 2 ¨ + l 1 l 2 x 1 ¨ + J 0 l 1 + l 2 2 ( x 2 ¨ - x 1 ) ¨ + k 2 x 2 = 0

    Finalmente, para esse caso temos que:

    x ¨ 1 m l 2 2 + J 0 + x ¨ 2 m l 1 l 2 - J 0 + x 1 l 1 + l 2 2 k 1 = 0

    x ¨ 1 m l 1 l 2 - J 0 + x ¨ 2 m l 1 2 + J 0 + x 2 l 1 + l 2 2 k 2 = 0

    Passo 2

  3. x     e       θ como coordenadas generalizadas

Para a energia cinética:

T = 1 2 m x 2 ˙ + 1 2 J 0 θ 2 ˙

Para a energia potencial:

V = 1 2 k 1   x - l 1 θ 2 + 1 2 k 2   x + l 2 θ 2

Então, temos que:

δ T δ x = 0 ,               δ T δ x ˙ = m x ˙ ,           d d t δ T δ x ˙ = m x ¨ ,           δ V δ x = k 1 x - l 1 θ + k 2 ( x + l 2 θ )

δ T δ θ = 0 ,               δ T δ θ ˙ = J 0 θ ˙ ,           d d t δ T δ θ ˙ = J 0 θ ¨ ,           δ V δ x = - k 1 l 1 x - l 1 θ + k 2 l 2 ( x + l 2 θ )

Finalmente, as equações de Lagrange nos dão:

m x ¨ + k 1 x - l 1 θ + k 2 x + l 2 θ = 0

J 0 θ ¨ - k 1 l 1 x - l 1 θ + k 2 x + l 2 θ = 0

Resposta

  1. x ¨ 1 m l 2 2 + J 0 + x ¨ 2 m l 1 l 2 - J 0 + x 1 l 1 + l 2 2 k 1 = 0
  2. x ¨ 1 m l 1 l 2 - J 0 + x ¨ 2 m l 1 2 + J 0 + x 2 l 1 + l 2 2 k 2 = 0

  3. m x ¨ + k 1 x - l 1 θ + k 2 x + l 2 θ = 0

J 0 θ ¨ - k 1 l 1 x - l 1 θ + k 2 x + l 2 θ = 0

Ver Outros Exercícios desse livro