Enunciado

a) Deduza uma expressão geral para a resposta de uma viga uniforme sujeita a uma força arbitrária.

(b) Use o resultado da parte (a) para determinar a resposta de uma viga uniforme sirnplesmente apoiada sob uma força harmônica F 0 sen ⁡ ω t aplicada em x   =   a .

Considere as seguintes condii;Oes iniciais: w x ,   0 = ∂ w ∂ t ( x ,   0 )   =   0

Passo 1

a) E aí, galerinha!

Simbora lá, meus queridos!

Bom, Para essa viga, de acordo com a nossa bibliografia, temos a seguinte equação de movimento...

E I   ∂ 4 w ∂ x 4 = f x , t - ρ A ∂ 2 w ∂ t 2

Uma vez que...

w x , t = ∑ n = 1 ∞ W n x T n ( t )

Onde W n ( x ) representa o modo normal nas condições que nos foram especificadas, temos que...

E I   d 4 w d x 4 = ω n 2 ρ A W n ,     n = 1,2 , …

Baseado nessas duas equações anteriores, ficamos com...

E I ∑ n = 1 ∞ d 4 w d x 4 T n t = f x , t - ρ A ∑ n = 1 ∞ W n x d 2 T n d t 2

∑ n = 1 ∞ ω n 2 W n x T n t = 1 ρ A f x , t - ∑ n = 1 ∞ W n x d 2 T n d t 2

Passo 2

Multiplicando essa equação anterior, por W ( x ) e integrando de 0 à l , ficamos com...

d 2 T n d t 2 + ω n 2 T n = 2 ρ A l F n t     ( i )

Onde...

F n t = ∫ 0 l f x , t W n x d x

Agora, baseado na relação de ortogonalidade para os modos normais, temos que...

∫ 0 l W m ( x ) W n x d x = 0 ,     s e   m = n l 2 ,     s e   m ≠ n

Assim, a equação escrita em ( i ) pode ser reescrita como...

T n t = A n cos ⁡ ω n t + B n sen ⁡ ω n t + 2 ρ A l ω n ∫ 0 l F n τ sen ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

Onde A n e B n são constantes a serem determinadas de acordo com as condições iniciais. A solução total, pode então ser escrita como...

w x , t = ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ω n t + B n sen ⁡ ω n t + 2 ρ A l ω n ∫ 0 l F n τ sen ⁡ ω n t - τ d τ W n ( x )

Passo 3

b) Para uma viga uniforme simplesmente apoiada, temos que...

W n x = sen ⁡ n π x l

E também temos que...

F n t = F 0 sen ⁡ n π a l sen ⁡ ω t

Então, a equação de T n ( t ) vai ficar com a seguinte cara...

T n t = 2 F 0 l 3 E I π 4 sen ⁡ n π a l 1 n 4 - ω ω 1 2 sen ⁡ ω t - ω ω 1 n 2 n 4 - ω ω 1 2 sen ⁡ n 2 ω 1 t

Onde...

ω 1 = π 2 l 2 E I ρ A

Resposta

a)

w x , t = ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ω n t + B n sen ⁡ ω n t + 2 ρ A l ω n ∫ 0 l F n τ sen ⁡ ω n t - τ d τ W n ( x )

b)

ω 1 = π 2 l 2 E I ρ A

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