Enunciado

62. Usando o metodo de Rayleigh, determine a frequência fundamental para a vibração lateral da viga mostrada na Figura 8.34. A força restauradora na mola k é proporcional à deflexao, e o momento restaurador da mola k t é proporcional à deflexão angular.

Passo 1

E aí, galerinha!

Simbora lá, meus queridos!

Bom, rapaziada e moças! Pra viga da figura 8.34 , temos que...

E pra ela, já sabemos também a seguinte equação de deslocamento...

W x = c 0 24 E I ( x 4 - 4 l x 3 + 6 l 2 x 2 )

Vamos então, tirar a segunda derivada essa equação...

d W d x ( x ) = c 0 24 E I ( 4 x 3 - 12 l x 2 + 12 l 2 x )

d 2 W d x 2 ( x ) = c 0 24 E I ( 12 x 2 - 24 l x + 12 l 2 )

d 2 W d x 2 ( x ) = c 0 2 E I ( x 2 - 2 l x + l 2 )

Passo 2

E temos também, pela nossa bibliografia, que...

V m á x = E I 2   ∫ 0 l d 2 W d x 2 2 d x + 1 2 k W x = l 2 + 1 2 k t d W d x x = l 2

Dessa forma, uma vez que...

k 2 W x = l 2 = k 2 c 0 2 l 2 64 E 2 I 2

k t 2 d W d x x = l 2 = k t 2 c 0 2 l 6 36 E 2 I 2

E da solução do problema 8.55 , temos que...

1 2 E I ∫ 0 l d 2 W d x 2 2 d x = c 0 2 l 5 40 E I

Subsituindo essas relações em V m á x :

V m á x = E I 2   ∫ 0 l d 2 W d x 2 2 d x + 1 2 k W x = l 2 + 1 2 k t d W d x x = l 2

V m á x = c 0 2 l 5 40 E I + k 2 c 0 2 l 2 64 E 2 I 2 + k t 2 c 0 2 l 6 36 E 2 I 2

Do problema 8.55 , temos que...

T m á x = ω ρ A 2 ∫ 0 l W x 2 d x = ω 2 ρ A 13 c 0 2 l 9 6480 E 2 I 2

Igualando V m á x e T m á x :

c 0 2 l 5 40 E I + k 2 c 0 2 l 2 64 E 2 I 2 + k t 2 c 0 2 l 6 36 E 2 I 2 = ω 2 ρ A 13 c 0 2 l 9 6480 E 2 I 2

ω 2 = c 0 2 l 5 40 E I + k 2 c 0 2 l 2 64 E 2 I 2 + k t 2 c 0 2 l 6 36 E 2 I 2 ρ A 13 c 0 2 l 9 6480 E 2 I 2

ω = 12,4615 E I ρ A l 4 + 3,8942 k ρ A l + 6,9231 k t ρ A l 4

Obtemos a nossa frequência fundamental!

Resposta

ω = 12,4615 E I ρ A l 4 + 3,8942 k ρ A l + 6,9231 k t ρ A l 4

Ver Outros Exercícios desse livro