Enunciado

Determinar a reação em A e desenhar o diagrama de momento fletor para a viga com o carregamento mostrado.

Obs: determinação do ângulo em A e B para o caso 2

Passo 1

Agora vamos seguir com o cálculo dos ângulos, porque só por eles vamos conseguir resolver o nosso problema.

Vamos passar para o caso 2, e para isso precisamos das reações de apoio, então assim, vamos ter que:

∑ M B = 0

V A a + 2 b - M A = 0

V A = M A a + 2 b

∑ F V = 0

- V A + V B = 0

- M A a + 2 b + V B = 0

V B = M A a + 2 b

Agora perceba o seguinte, suponha que ao invés de termos os apoios em A e B, vamos supor que eles são cargas aplicadas na nossa viga, e que no caso no ponto B temos um engaste, então basta desenharmos o diagrama de cada carga com relação ao ponto B, assim, teremos que:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , referente a cada uma das barras, e assim teremos que:

Passo 2

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de B com relação a A da seguinte maneira:

θ B / A = θ B - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ B - θ B / A

E se multiplicarmos tudo por (a+2b), obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

( a + 2 b ) θ A = ( a + 2 b ) θ B - ( a + 2 b ) θ B / A

( a + 2 b ) θ A = y B - y B / A

E sabemos que a deformação em B é zero, assim temos que:

θ A = - y B / A ( a + 2 b )

E para determinarmos a deformação y B / A precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ B, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito B / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = M A E I × ( a + 2 b ) × 1 2 = M A a + 2 b 2 E I

A 2 = - M A E I × ( a + 2 b ) = - M A a + 2 b E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto B, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2

y B / A = M A a + 2 b 2 E I × a + 2 b 3 - M A a + 2 b E I × ( a + 2 b ) 2

y B / A = M A a + 2 b 2 6 E I - M A a + 2 b 2 2 E I

Sabendo que:

P = 180   k N

b = 1,35   m

a = 0,90   m

Substituindo, tem-se que:

y B / A = M A 0,9 + 2 × 1,35 2 6 E I - M A 0,9 + 2 × 1,35 2 2 E I

y B / A = - 4,32 M A E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo A, com isso teremos que:

θ A = - y B A ( a + 2 b ) = - - 4,32 M A E I ( 3,6 ) = 1,20 M A E I

Passo 3

Porém, lembre-se que o nosso objetivo é determinar os dois ângulos dessa viga nessa primeira parte, assim, como já definimos o ângulo A, vamos para o ângulo B, e aqui é muito simples, baste pensarmos, qual a relação do ângulo A com o ângulo B? podemos usar a seguinte equação.

θ A / B = θ A - θ B

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em B, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ B = θ A - θ A / B

E se multiplicarmos tudo por (a+2b), obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo B eu não irei modificar.

( a + 2 b ) θ B = ( a + 2 b ) θ A - ( a + 2 b ) θ A / B

( a + 2 b ) θ B = y A - y A / B

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ B = - y A / B ( a + 2 b )

E para determinarmos a deformação y A / B precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / B . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = M A E I × ( a + 2 b ) × 1 2 = M A a + 2 b 2 E I

A 2 = - M A E I × ( a + 2 b ) = - M A a + 2 b E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y A / B = A 1 y 1 + A 2 y 2

y A / B = M A a + 2 b 2 E I × 2 a + 2 b 3 - M A a + 2 b E I × a + 2 b 2

y A / B = M A a + 2 b 2 3 E I - M A a + 2 b 2 2 E I

Sabendo que:

P = 180   k N

b = 1,35   m

a = 0,90   m

Substituindo, tem-se que:

y A / B = M A 0,9 + 2 × 1,35 2 3 E I - M A 0,9 + 2 × 1,35 2 2 E I

y A / B = - 2,16 M A E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo B, com isso teremos que:

θ B = - y A B a + 2 b = - - 2,16 M A E I 3,6 = 0,60 M A E I

Resposta

θ A = 1,20 M A E I

θ B = 0,60 M A E I

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Resolver o Prob.116, assumindo que a intensidade da carga em E é aumentada para 65 k N .A declividade em D
Resolver o Prob.116, assumindo que a intensidade da carga em E é aumentada para 65 k N .A deflexão no ponto E
Resolver o Prob.116, assumindo que a intensidade da carga em E é aumentada para 65 k N .A deflexão em C
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A deflexão em E
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A declividade no ponto A