Enunciado

Determinar a reação em A e desenhar o diagrama de momento fletor para a viga com o carregamento mostrado.

Obs: determinação da reação em A para o caso 4

Passo 1

Agora temos que tomar o seguinte cuidado, sabemos que temos 3 casos de vigas, e para cada um dos casos determinamos os ângulos nos seus apoios, e assim obtivemos o seguinte:

  • Caso 1
  • θ A = - M 0 a 2 - 2 M 0 a b + 2 M 0 b 2   6 E I a + b

    θ B = - 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b + 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b )

  • Caso 2
  • θ A = M A ( a + b ) 3 E I

    θ B = M A ( a + b ) 6 E I

  • Caso 3

θ A = M B ( a + b ) 6 E I

θ B = M B ( a + b ) 3 E I

Com isso em mãos, precisamos lembrar o seguinte, cada apoia é um engaste, logo, a soma dos ângulos em cada apoio representa esse engaste, ou seja, essa soma tem que dar zero, assim podemos dizer que:

θ A ( c a s o 1 ) + θ A ( c a s o 2 ) + θ A ( c a s o 3 ) = 0

θ B ( c a s o 1 ) + θ B ( c a s o 2 ) + θ B ( c a s o 3 ) = 0

Assim obtém-se o seguinte sistema:

- M 0 a 2 - 2 M 0 a b + 2 M 0 b 2   6 E I a + b + M A ( a + b ) 3 E I + M B ( a + b ) 6 E I = 0

- 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b + 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b ) + M A ( a + b ) 6 E I + M B ( a + b ) 3 E I = 0

Isolando M B , obtém-se que:

M B ( a + b ) 6 E I = M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   6 E I a + b - M A ( a + b ) 3 E I

Na segundo equação, multiplicando M B em cima e embaixo por 2, obtém-se que:

- 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b + 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b ) + M A ( a + b ) 6 E I + 2 M B ( a + b ) 6 E I = 0

Substituindo

- 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b + 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b ) + M A ( a + b ) 6 E I + 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   6 E I a + b - M A a + b 3 E I = 0

- 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b + 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b ) + M A ( a + b ) 6 E I + M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   3 E I a + b - 2 M A a + b 3 E I = 0

M A ( a + b ) 6 E I - 4 M A a + b 6 E I = 2 M 0 a 2 - 2 M 0 a b - 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b ) + - M 0 a 2 - 2 M 0 a b + 2 M 0 b 2   3 E I a + b

M A ( a + b ) 6 E I - 4 M A a + b 6 E I = 2 M 0 a 2 - 2 M 0 a b - 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b ) + - 2 M 0 a 2 - 4 M 0 a b + 4 M 0 b 2   6 E I a + b

Simplificando:

- M A a + b 2 E I = 2 M 0 a 2 - 2 M 0 a b - 1 M 0 b 2 - 2 M 0 a 2 - 4 M 0 a b + 4 M 0 b 2 6 E I a + b

- M A = - 6 M 0 a b + 3 M 0 b 2 3 a + b 2

M A = 2 M 0 a b - M 0 b 2 a + b 2

Desse modo:

M B ( a + b ) 6 E I = M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   6 E I a + b - M A ( a + b ) 3 E I

M B ( a + b ) 6 = M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   6 a + b - M A ( a + b ) 3

M B = M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   a + b 2 - 2 M A

M B = M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   a + b 2 - 4 M 0 a b - 2 M 0 b 2 a + b 2

M B = M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2 - 4 M 0 a b + 2 M 0 b 2   a + b 2

Simplificando:

M B = M 0 a 2 - 2 M 0 a b   a + b 2

Passo 2

Como descobrimos os momentos, podemos determinar a reação de apoio vertical.

∑ M B = 0

- V A a + b - 2 M 0 a b - M 0 b 2 a + b 2 - M 0 + M 0 a 2 - 2 M 0 a b   a + b 2 = 0

- V A a + b = + 2 M 0 a b - M 0 b 2 a + b 2 + M 0 + - M 0 a 2 + 2 M 0 a b   a + b 2

- V A a + b = - M 0 b 2 - M 0 a 2 + 4 M 0 a b   a + b 2 + M 0

V A = M 0 b 2 + M 0 a 2 - 4 M 0 a b   a + b 3 - M 0 a + b

Resposta

V A = M 0 b 2 + M 0 a 2 - 4 M 0 a b   a + b 3 - M 0 a + b

M A = 2 M 0 a b - M 0 b 2 a + b 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A declividade em D
Para a viga prismática com o carregamento mostrado, determinar:A deflexão no ponto E
Resolver o Prob.116, assumindo que a intensidade da carga em E é aumentada para 65 k N .A declividade no ponto A
Resolver o Prob.116, assumindo que a intensidade da carga em E é aumentada para 65 k N .A declividade em D
Resolver o Prob.116, assumindo que a intensidade da carga em E é aumentada para 65 k N .A deflexão no ponto E