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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 33

Determine a area da seção transversal (A) e momenta de inércia de área (l) de uma viga de aço simplesmente apoiada de 1 m de comprimento para a qual as três primeiras frequências naturais se encontram na faixa de 1.500 Hz a 5.000 Hz

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá! Vamos começar dando uma olhada na figura abaixo!

Agora se liga! A gente sabe que a fórmula de frequência natural é dada por...

ω n = β n l 2 E I ρ A l 4

Onde para a viga simplesmente apoiada, para as três primeiras frequências naturais...

β 1 l = π

β 2 l = 2 π

β 3 l = 3 π

Passo 2

Logo, ficamos com...

ω 1 = π 2 E I ρ A l 4

ω 2 = 2 π 2 E I ρ A l 4

ω 3 = 3 π 2 E I ρ A l 4

Para o aço, temos que...

E = 2,07 ⋅ 10 11   N / m 2

E também sabemos sua densidade e que...

ρ = 7880   k g / m 3

l = 1,0   m

E a genta também sabe que a frequência varia de 1500   H z a 5000   H z .

Passo 3

Pois muito bem! Vamos analisar os casos...

ω 1 ≥ 1500   H z = 9424,77   r a d / s

9424,77 2 ≥ π 4 E I ρ A l 4

9424,77 2 ≥ π 4 2,07 ⋅ 10 11 7880 ⋅ I A

I A ≤ 0,03471

ω 3 ≤ 5000   H z = 31416   r a d / s

31416   r a d / s 2 ≥ 3 π 4 E I ρ A l 4

31416   r a d / s 2 ≥ 3 π 4 2,07 ⋅ 10 11 7880 ⋅ I A

I A ≥ 0,0047617

Então, basicamente temos que...

0,0047617 ≤ I A ≤ 0,03471

Uma vez que a seção transversal é um retângulo com largura b e altura h , então...

A = b h

I = 1 12 b h 3

Chegamos à...

0,0047617 ≤ I A ≤ 0,03471

0,0047617 ≤ 1 12 b h 3 b h ≤ 0,03471

0,0047617 ≤ 1 12 h 2 ≤ 0,03471

Assim, tomando um valor satisfatório... Por exemplo 0,005 ...

1 12 h 2 = 0,005

h = 0,2449   m

Tomando b = 0,1   m , então a área será...

A = 0,1 ⋅ 0,2449  

A = 0,02449   m 2

E o momento de inércia...

I = 1 12 b h 3

I = 1 12 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2449

I = 1,224 ⋅ 10 - 4   m 4

Resposta

A = 0,02449   m 2

I = 1,224 ⋅ 10 - 4   m 4

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