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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 6

6- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada:

Passo 1

Para calcular a área dessa região vamos nos preocupar com o tamanho do eixo x que vai da reta x = 0 até a função de acordo com a figura abaixo.

Logo para calcular a área temos seguinte integral:

A = ∫ x   d y = ∫ K y 2 d y

Onde y varia do valor 0 até o valor a .

A = ∫ 0 a k y 2 d y = k y 3 3 0 a = k a 3 3

Além de que podemos substituir K em um valor relacionado aos valores de   a e b , da seguinte forma:

Onde para x = b teremos um y = k a 2 , onde:

b = k a 2

Logo o valor de k será:

k = b a 2

Logo a área pode ser escrita como:

A = k 3 a 3 = b 3 a 2 × a 3 = a b 3

Passo 2

Para calcular o centroide precisamos fazer:

x - = ∫ x c d A A                             y - = ∫ y c d A A

Como a largura da nossa linha vale d y , logo y c vale o próprio valor de y e x c vale a média aritmética das funções. De tal modo que:

x c = 0 + k y 2 2 = k y 2 2

Logo y - valerá:

y - = ∫ 0 a y × k y 2 d y a b 3 = k y 4 4 0 a a b 3 = k a 4 4 a b 3 = b a 2 a 4 4 a b 3 = a 2 b 4 a b 3 = 3 4 a

E x - valerá:

x - = ∫ 0 a k y 2 2 k y 2 d y a b 3 = 1 2 ∫ 0 a k 2 y 4 d y a b 3 = k 2 2 y 5 5 0 a a b 3 = 1 2 b 2 a 4   a 5 5 a b 3 = a b 2 10 a b 3 = 3 b 10

Resposta

Centro de Massa:

x - , y - = 3 b 10 , 3 a 4

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