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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 60

Determine os deslocamentos angulares θ 1 ( t ) e θ 2 ( t ) do sistema mostrado na Figura 5.48 para as condicöes iniciais θ 1 ( t = 0 ) = θ 1 ( 0 ) , θ 2 ( t = 0 ) = θ 2 ( 0 ) e θ ˙ 1 ( t = 0 ) = θ ˙ 2 ( t = 0 ) = 0

Passo 1

Equações do movimento

σ 1 θ 1 ¨ + k t θ 1 - k t θ 2 = 0

σ 2 θ ¨ 2 + k t θ 2 - k t θ 1 = 0

Para θ i ( t ) = Θ i c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) , i = 1,2

- ω 2 σ 1 + k t   - x t   - k t   - ω 2 σ 2 + k t   Θ 1   Θ 2   = 0   0  

Frequência da equação

ω 4 σ 1 σ 2 - ω 2 σ 1 k t + σ k t = 0

ω 1 = 0 ,       ω 2 = k t σ 1 + σ 2 σ 1 σ 2

Razão da amplitude

r 1 = Θ 2 ( 1 ) Θ 1 ( 1 ) = - ω 1 2 σ 1 + k t k t = 1

r 2 = Q 2 ( 2 ) σ 1 ( 2 ) = - ω 2 2 σ 1 + k t k t = - σ 2

Passo 2

Solução geral é dada pelas equações similares a Eqs (5.15). Com θ ˙ 1 ( 0 ) = θ ˙ 2 ( 0 ) = 0 , obtemos das eqs similares a eq(5.18)

Θ 1 ( 1 ) = 1 r 2 - r 1 r 2 θ 1 ( 0 ) - θ 2 ( 0 ) = - v 2 σ 1 + σ 2 - σ 1 σ 2 θ 1 ( 0 ) - θ 2 ( 0 )

= σ 1 θ 1 ( 0 ) + σ 2 θ 2 ( 0 ) σ 1 + σ

Θ 1 ( 2 ) = 1 r 2 - r 1 - r 1 θ 1 ( 0 ) + θ 2 ( 0 ) = - σ 2 σ + σ 2 σ 1 σ 2 θ 1 ( 0 ) + θ 2 ( 0 )

= - σ 1 θ 1 ( 0 ) + σ 2 θ 2 ( 0 ) σ 1 + σ 2

ϕ 1 = ϕ 2 = 0

θ 1 ( t ) = Θ 1 ( 1 ) c o s ⁡ 0 t + θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t = Θ 1 ( 1 ) + Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t

θ 2 ( t ) = Θ 1 ( 1 ) - σ 1 σ 2 Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t

Resposta

θ 1 ( t ) = Θ 1 ( 1 ) c o s ⁡ 0 t + θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t = Θ 1 ( 1 ) + Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t

θ 2 ( t ) = Θ 1 ( 1 ) - σ 1 σ 2 Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t

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