Enunciado

Determine o espectro de resposta de deslocamento de um sistema não amortecido para o pulso mostrado na Figura 4.39 ( c ) .

Passo 1

A resposta é encontrada no problema 4.22

0 ≤ t ≤ t 0 :

x ( t ) = F 0 k 1 - c o s ⁡ ω n t + F 0 2 m ω n ⋅ 2 ω n π 2 t 0 2 - ω n 2 ⋅ c o s ⁡ π τ 2 t 0 - c o s ⁡ ω n t (E1)

Para x máx, d x d t = 0

i.e.,  F 0 ω n k s i n ⁡ ω n t + F 0 m π 2 t 0 2 - ω n 2 - π 2 t 0 s i n ⁡ π t 2 t 0 + ω n s i n ⁡ ω n t = 0

que pode ser reduzida a forma

s i n ⁡ ω n t m a x = π 2 ω n t 0 m π 2 t 0 2 - m ω n 2 + k s i n ⁡ π t m a x 2 t 0 (E2)

Uma vez que tmax é conhecido de (E2), E2⋅ (E1) pode ser usado para encontrar xmax como:

x m a x = x t = t m a x = F 0 k 1 - c o s ⁡ ω n t m a x + F 0 m π 2 t 0 2 - ω n 2 c o s ⁡ π t m a x 2 t 0 - c o s ⁡ ω n t m a x (E3)

Passo 2

t ≥ t 0

x ( t ) = F 0 k c o s ⁡ ω n t - t 0

- s i n ⁡ ω n t - t 0 F 0 2 m ω n π 2 t 0 - ω n + F 0 2 m ω n π 2 t 0 + ω n

+ c o s ⁡ ω n t - F 0 k - F 0 2 m ω n π 2 t 0 - ω n + F 0 2 m ω n π 2 t 0 + ω n (E4)

Pata tmáx, d x d t = 0

i\e.,  - F 0 ω n k s i n ⁡ ω n t m a x - t 0 - F 0 π ω n c o s ⁡ ω n t m a x - t 0 2 m ω n t 0 π 2 t 0 2 - ω n 2 + F 0 π 2 t 0 2 ω n k π 2 t 0 2 - ω n 2 s i n ⁡ ω n t m a x = 0 (E5)

Então t m a x é encontrado resolvendo E 8 ⋅ E 5 , x m a x pode ser encontrado a partir de E 8 ⋅ E 4 como

x m a x = x t = t m a x = F 0 k c o s ⁡ ω n t m a x - t 0

- π F 0 2 ω n m t 0 π 2 t 0 2 - ω n 2 s i n ⁡ ω n t m a x - t 0

- F 0 π 2 t 0 2 k π 2 t 0 2 - ω n 2 c o s ⁡ ω n t m a x (E6)

Eqs. (E3) e (E6) podem ser usados ​​para traçar xmax versus ωn para obter o espectro de resposta de deslocamento.

Resposta

Eqs. (E3) e (E6) podem ser usados ​​para traçar xmax versus ωn para obter o espectro de resposta de deslocamento.

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