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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 59

Determine a faixa de operação da razão de frequências ω / ω 2 para um absorvedor de vibração não amortecido para limitar o valor de | X 1 / δ s t | a 0,5. Considere que ω 1 = ω 2   e   m 2 = 0,1 m 1 .

Passo 1

Falaaa galerinha, cêis tão baunzinhoo??

Bora láa??

Para o cálculo   | X 1 / δ s t | , seguimos a fórmula abaixo onde X 1 é a amplitude do estado estacionário do sistema inicial, δ s t é a deflexão estática do sistema inicial, ω é a frequência de excitação, k 1   e   ω 1 são a rigidez e a frequência natural respectivamente do sistema e finalmente k 2   e   ω 2 são a rigidez e a frequência natural, respectivamente, do absorvedor.

X 1 δ s t = 1 - ω ω 2 2 1 + k 2 k 1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - k 2 k 1 < 0.5

Ou a equação acima pode ser reescrita como:

- 0.5 < 1 - ω ω 2 2 1 + k 2 k 1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - k 2 k 1 < 0.5                 ( 1 )

Passo 2

Analise o termo esquerdo.

- 0.5 < 1 - ω ω 2 2 1 + k 2 k 1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - k 2 k 1                   ( 2 )

A relação rigidez , k 1 / k 2 pode ser analisada a partir da seguinte relação:

ω 1 = ω 2

ω 1 2 = ω 2 2

k 1 m 1 = k 2 m 2

k 1 k 2 = m 1 m 2

Substituindo 0,1 por m 1 m 2

k 1 k 2 = 0.1

A relação de rigidez k 1 k 2 é determinada como 0.1.

Passo 3

Lembrando da expressão (2) e substituindo o 0.1.

- 0.5 < 1 - ω ω 2 2 1 + k 2 k 1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - k 2 k 1

- 0.5 < 1 - ω ω 2 2 1 + 0.1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - 0.1

- 0.5 < 1 - ω ω 2 2 1.1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - 0.1

Denote a variável ω ω 1 2 como x

- 0.5 < 1 - x 1.1 - x 1 - x - 0.1

- 0.5 < 1 - x x 2 - 2.1 x + 1

- 0.5 x 2 - 2.1 x + 1 < 1 - x

- 0.5 x 2 - 1.05 x - 0.5 - 1 + x < 0

- 0.5 x 2 + 2.05 x - 1.5 < 0

As raízes da equação acima são resolvidas por fórmula de bhaskara

x 1 = 3.147

x 2 = 0.953

Passo 4

Portanto, o primeiro limite é determinado como :

x > 3.147   e   x < 0.953

Substituindo ω ω 2 2 como x

ω ω 2 2 > 3.147

ω ω 2 > 3.147

ω ω 2 > 1.774

e

ω ω 2 2 < 0.953

ω ω 2 < 0.953

ω ω 2 < 0.9764

O primeiro limite de operação da máquina é determinado como:

ω ω 2 > 1.774   e   ω ω 2 < 0.9764

Passo 5

Analise o termo correto da expressão (1)

1 - ω ω 2 2 1 + k 2 k 1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - k 2 k 1 < 0.5                 ( 3 )

Substituindo 0.1 por k 1 / k 2

1 - ω ω 2 2 1 + 0.1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - 0.1 < 0.5

1 - ω ω 2 2 1.1 - ω ω 1 2 1 - ω ω 2 2 - 0.1 < 0.5

Denote a variável ω ω 2 2 como x

1 - x 1.1 - x 1 - x - 0.1 < 0.5

1 - x x 2 - 2.1 x + 1 < 0.5

1 - x < 0.5 x 2 - 2.1 x + 1

0 < 0.5 x 2 - 1.05 x - 0.5 - 1 + x

0 < 0.5 x 2 - 0.05 x - 0.5

As raízes da equação acima são resolvidas por fórmula de bhaskara

x 1 = 1.05125

x 2 = - 0.9512

Passo 6

Portanto, o primeiro limite é determinado como :

x < - 0.9512   e   x < 1.05125

Substituindo ω ω 2 2 como x

ω ω 2 2 > 1.05125

ω ω 2 > 1.05125

ω ω 2 > 1.0253

O segundo limite de operação da máquina é determinado como:

ω ω 2 > 1.0253  

Passo 7

A operação limite de combinação da máquina é determinada como :

ω ω 2 > 1.774     e   ω ω 2 < 0.9764     e     ω ω 2 > 1.0253    

Portanto, a operação limite da máquina é determinada como:

ω ω 2 < 0.9764         e           ω ω 2 > 1.0253    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro