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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 53

Determine as frequências naturais e formas modais do pêndulo triplo mostrado na Figura 6.10 para l 1 = l 2 = l 3 = l ,   m 1 = m 2 = m 3 = m .

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Bom, nessa questão podemos usar a ideia que foi usada no problema 6.37 para as matrizes de equação de movimento, que com os dados que foram pedidos nesse enunciado, vão resultar em:

3 m l 2         2 m l 2         m l 2 2 m l 2         2 m l 2           m l 2 m l 2                 m l 2           m l 2 θ 1 ¨ θ 2 θ 3 ¨ ¨ + 3 m g l         0       0 0         2 m g l           0 0         0           m g l θ 1 θ 2 θ 3 = 0 0 0

As equações de movimento para um movimento harmônico resultarão em:

- 3 l ω 2 + 3 g     - 2 l ω 2         - l ω 2 - 2 l ω 2         - 2 l ω 2 + 2 g         - l ω 2 - l ω 2         - l ω 2               - l ω 2 + g H 1 ^ H 2 ^ H 3 ^ = 0 0 0

Sabendo que α = ω 2 l g e dividindo tudo por - g , nós temos que:

3 α - 3               2 α             α 2 α               2 α - 2             α α                 α               α - 1 H 1 ^ H 2 ^ H 3 ^ = 0 0 0

Assim, a equação de frequência vai ficar igual a:

3 α - 3 2 α - 2 α - 1 - 2 α 2 α α - 1 - α 2 + α 2 α 2 - α 2 α - 2 = 0

α 3 - 9 α 2 + 18 α - 6 = 0

As raízes dessa equação serão:

α 1 = 0,415764 → ω 1 = 0 , 644798 k / m

α 2 = 2,29431 → ω 2 = 1,514698 k / m

α 3 = 6,28995 → ω 3 = 2,507977 k / m

Passo 2

Dito isso, e pegando o sistema que foi feito por definição do movimento harmônico, nós temos:

x 2 j x 1 j = - 2 m ω j 2 + 2 k k

- 3 m ω j 2 + 2 k - 2 m ω j 2 + 2 k k x 1 j - k x 1 j = k x 3 j

x 3 j x 1 j = - 3 m ω j 2 + 2 k - 2 m ω j 2 + 2 k - k 2 k 2

Sendo assim, para o modo j t h , nós temos que:

H ^ → j = H 1 ^ → j 1 - 2 α j 2 + 6 α j - 3 α j 2 - 2 α j α j - 3 α j - 2

Por fim, as formas modais serão:

H ^ → 1 = 1 1 , 2922 1 , 6312 H ^ 1 ( 1 ) ,   H ^ → ( 2 ) = 1 0 , 3527 - 2,3978 H ^ 1 ( 2 ) ,   H ^ → ( 3 ) = 1 - 1,6450 0,7669 H ^ 1 ( 3 )

Resposta

α 1 = 0,415764 → ω 1 = 0,644798 k / m

α 2 = 2,29431 → ω 2 = 1,514698 k / m

α 3 = 6,28995 → ω 3 = 2,507977 k / m

H ^ → 1 = 1 1,2922 1,6312 H ^ 1 ( 1 ) ,   H ^ → ( 2 ) = 1 0,3527 - 2,3978 H ^ 1 ( 2 ) ,   H ^ → ( 3 ) = 1 - 1,6450 0,7669 H ^ 1 ( 3 )

Ver Outros Exercícios desse livro