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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 54

Determine as frequências naturais e formas modais do sistema considerado no Problema 6.22 com     m 1 = m 2 = m 3 = m , k 1 = k 2 = k ,   k 3 = 2 k .

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Bom, nessa questão podemos usar a ideia que foi usada no problema 6.22 para as matrizes de massa e rigidez, que com os dados que foram pedidos nesse enunciado, vão resultar em:

k = 2 k             - k                         0 - k                 3 k     - 2 k 0                 - 2 k                 2 k

m = m               0                   0 0                 2 m           0 0                 0                 m

As equações de movimento para um movimento harmônico resultarão em:

- ω 2 m + 2 k             - k                       0 - k         - 2 ω 2 m + 3 k         - 2 k 0         - 2 k               - ω 2 m + 2 k x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A equação de frequência vai ser:

- ω 2 m + 2 k             - k                       0 - k         - 2 ω 2 m + 3 k         - 2 k 0         - 2 k               - ω 2 m + 2 k = 0 0 0

Sabendo que α = ω 2 m k , nós temos que:

- α + 2 2 α 2 - 7 α + 1 = 0

As raízes dessa equação serão:

α 1 = 0,149219 → ω 1 = 0,386289 k / m

α 2 = 2,00000 → ω 2 = 1 , 414214 k / m

α 3 = 3,350781 → ω 3 = 1,830514 k / m

Passo 2

Dito isso, e pegando o sistema que foi feito por definição do movimento harmônico, nós temos:

x 2 j x 1 j = - m ω j 2 + 2 k k

x 3 j x 1 j = - 2 m ω j 2 + 2 k - m ω j 2 + 2 k - k 2 2 k 2

Sendo assim, para o modo j t h , nós temos que:

x → j = x 1 → j 1 - m ω j 2 + 2 k k - 2 m ω j 2 + 2 k - m ω j 2 + 2 k - k 2 2 k 2

Por fim, as formas modais serão:

x → 1 = 1 1,850781 2 x 1 ( 1 ) ,   x → ( 2 ) = 1 0 - 0,5 x 1 ( 2 ) ,   x → ( 3 ) = 1 - 1,350781 2 x 1 ( 3 )

Resposta

α 1 = 0,149219 → ω 1 = 0,386289 k / m

α 2 = 2,00000 → ω 2 = 1,414214 k / m

α 3 = 3,350781 → ω 3 = 1,830514 k / m

x → 1 = 1 1,850781 2 x 1 ( 1 ) ,   x → ( 2 ) = 1 0 - 0,5 x 1 ( 2 ) ,   x → ( 3 ) = 1 - 1,350781 2 x 1 ( 3 )

Ver Outros Exercícios desse livro