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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 57

Determine as frequências naturais e os modos principais do sistema torcional mostrado na Figura 6.23 com G J i = G J ,   c o m   i = 1,2 , 3,4 ,     J d 1 = J d 2 = J d 3 = J 0   e   l 1 = l 2 = l 3 = l 4 = l .

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Bom, nessa questão podemos usar a ideia que foi usada no problema 6.18, que com os dados que foram pedidos nesse enunciado, vão resultar em:

* = G J l 2         - 1             0 - 1             2           - 1 0           - 1                 2 ,   J d = J 0 1               0             0 0               1               0 0                 0                 1

As equações de movimento para um movimento harmônico resultarão em:

- ω 2 J 0 + 2 G J l + 3 g           - G J l         0 - G J l         - ω 2 J 0 + 2 G J l         - G J l 0                     - G J l               - ω 2 J 0 + 2 G J l H 1 ^ H 2 ^ H 3 ^ = 0 0 0

Sabendo que α = ω 2 l J 0 G J e dividindo tudo por G J l , nós temos que:

- α + 2           - 1             0 - 1             - α + 2           - 1 0                   - 1         - α + 2 H 1 ^ H 2 ^ H 3 ^ = 0 0 0

Assim, a equação de frequência vai ficar igual a:

( - α + 2 ) ( α 2 - 4 α + 2 ) = 0

Passo 2

As raízes dessa equação serão:

α 1 = 0,585786 → ω 1 = 0,765367 k / m

α 2 = 2,000000 → ω 2 = 1,414214 k / m

α 3 = 3,414212 → ω 3 = 1 , 847759 k / m

Por fim, as formas modais serão:

H ^ → 1 = 1 1 , 414214 1 H ^ 1 ( 1 ) ,   H ^ → ( 2 ) = 1 0 - 1 H ^ 1 ( 2 ) ,   H ^ → ( 3 ) = 1 - 1 , 414214 1 H ^ 1 ( 3 )

Resposta

α 1 = 0,585786 → ω 1 = 0,765367 k / m

α 2 = 2,000000 → ω 2 = 1,414214 k / m

α 3 = 3,414212 → ω 3 = 1,847759 k / m

H ^ → 1 = 1 1,414214 1 H ^ 1 ( 1 ) ,   H ^ → ( 2 ) = 1 0 - 1 H ^ 1 ( 2 ) ,   H ^ → ( 3 ) = 1 - 1,414214 1 H ^ 1 ( 3 )

Ver Outros Exercícios desse livro