Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 47

Organize a equação matricial de movimento e determine os três modos principais de vibração para o sistema mostrado na figura 6.6(a) com k 1 = 3 k ,   k 2 = k 3 = k ,   m 1 = 3 m   e   m 2 = m 3 = m . Verifique a ortogonalidade dos modos determinados.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Bom, quando k 1 = 3 k ,   k 2 = k 3 = k ,   m 1 = 3 m   e   m 2 = m 3 = m , lá no problema anterior, 6.46, nós já sabemos, fazendo essa alteração, que essa vai ser a equação de frequência:

- 3 ω 2 m + 4 k                 - k                       0 - k                 - ω 2 m + 4 k               - k 0                                 - k               - ω 2 m + k = 0 0 0

Ou seja, tirando da forma matricial:

- 3 ω 2 m + 4 k - ω 2 m + 2 k - ω 2 m + k - k 2 + k - k ( - ω 2 m + k ) = 0

De onde nós tiramos que:

3 α 3 - 13 α 2 + 1 4 α - 3 = 0

Com α = ω 2 m k .

Passo 2

Dada essa última equação, nós podemos extrair as seguintes raízes:

α 1 = 0,284515 → ω 1 = 0,533399 k / m

α 2 = 1,26053 → ω 2 = 1,122733 k / m

α 3 = 2,78829 → ω 3 = 1,669817 k / m

Colocando na forma modal de modo j t h , a equação de movimento harmônico nos dá que:

x j → = x 1 j x 2 j x 3 j = x i j 1 - 3 ω j 2 m + 4 k k ( - 3 ω j 2 m + 4 k ) ( - ω j 2 m + k )

Ou seja:

x ( 1 ) → = x 1 ( 1 ) 1 3,146455 4,397653 ,       x ( 2 ) → = x 1 ( 2 ) 1 0,21841 - 0,83833 ,         x ( 3 ) → = x 1 ( 3 ) 1 - 4,36487 2,44081

Passo 3

Agora faremos a verificação da ortogonalidade dos modos, galera. Pra início temos a seguinte matriz:

m = m 3           0           0 0           1           0 0           0           1

Para o primeiro modo temos que:

x 1 → T m x ( 1 ) → = 1 → 1           3,146455           4,397653 3 3,146455 4,397653 m x 1 1 2 = 1

→ 32,239531   m x 1 1 2 = 1     o u   s e j a   x 1 ( 1 ) = 1 m ( 0,176119 )    

x 1 1 = 1 m 0,176119 0,554151 0,774510    

Já para o segundo modo, temos:

x 1 → T m x ( 2 ) → = 1 → 1           0,21841         - 0,83833 3 0,21841 - 0,83833 m x 1 2 2 = 1

→ 3,7505   m x 1 2 2 = 1     o u   s e j a   x 1 ( 2 ) = 1 m ( 0 , 516363 )    

x 1 2 = 1 m 0,516363 0 , 112779 - 0,432883    

E por fim, para o terceiro modo:

x 1 → T m x ( 3 ) → = 1 → 1         - 4,36487           2,44081 3 - 4,36487 2,44081 m x 1 3 2 = 1

→ 28,00964   m x 1 3 2 = 1     o u   s e j a   x 1 ( 3 ) = 1 m ( 0,18895 )    

x 1 3 = 1 m 0,18895 - 0,824742 0,461191    

Passo 4

A verificação em si, finalmente, se mostra fazendo que:

x 1 → T m x 2 → = 0,176119           0,554151           0,774510 1,549089 0,112779 - 0,432883 = 0

x 1 → T m x 3 → = 0,176119           0,554151           0,774510 0,56685 - 0,824742 0,461191 = 0

x 2 → T m x ( 3 ) → = 0,516363           0,112779         - 0,432883 0,56685 - 0,824742 0,461191 = 0

Resposta

x ( 1 ) → = x 1 ( 1 ) 1 3,146455 4,397653 ,       x ( 2 ) → = x 1 ( 2 ) 1 0,21841 - 0,83833 ,         x ( 3 ) → = x 1 ( 3 ) 1 - 4,36487 2,44081

Ver Outros Exercícios desse livro