Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 1

Determine as frequências naturais do sistema mostrado na Figura 5.16 , com m 1 = m , m 2 = 2 m , k 1 = k e k 2 = 2 k . Determine a resposta do sistema quando k = 1.000   N / m , m = 20   k g e os valores iniciais dos deslocamentos das massas m 1 e m 2 são 1 e - 1 , respectivamente.

Passo 1

Equações de movimento

m 1 x ¨ 1 + k 1 + x 2 x 1 - k 2 x 2 = 0

m 2 x ¨ 2 + k 2 x 2 - k 2 x 1 = 0 (E1)

Com x i ( t ) = X i c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) ; i = 1,2 , Eq (E1) dá a equação da frequência

- ω 2 m 1 + k 1 + k 2         - k 2   - k 2         - ω 2 m 2 + k 2   = 0

Ou ω 4 - k 1 + k 2 m 1 + k 2 m 2 ω 2 + k 1 k 2 m 1 m 2 = 0 (E2)

Passo 2

Raízes da equação (E2) são

ω 1 2 , ω 2 2 = k 1 + k 2 2 m 1 + k 2 2 m 2 ∓ 1 4 k 1 + k 2 m 1 + k 2 m 2 2 - k 1 k 2 m 1 m 2 (E3)

Se x → ( 1 ) = x 1 ( 1 )   x 2 ( 1 ) = r 1         x 1 ( 1 )     a n d   x → ( 2 ) = x 1 ( 2 )   x 2 ( 2 ) = r 2 x 1 ( 2 )  

r 1 = x 2 ( 1 ) x 1 ( 1 ) = - m 1 ω 1 2 + k 1 + k 2 k 2 = k 2 - m 2 ω 1 2 + k 2 (E4)

r 2 = x 2 ( 2 ) x 1 ( 2 ) = - m 1 ω 2 2 + k 1 + k 2 k 2 = k 2 - m 2 ω 2 2 + k 2 (E5)

Passo 3

Solução geral da Eq (E1)

x 1 ( t ) = x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2

x 2 ( t ) = r 1 x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + r 2 x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2 (E6)

Em que x 1 ( 1 ) , x 1 ( 2 ) , ϕ 1   e   ϕ 2 podem ser encontradas usando Eqs (5.18)

Para m 1 = m , m 2 = 2 m , k 1 = k   a n d   k 2 = 2 k 1 E 3 dá:

ω 1 2 = ( 2 - 3 ) k m , ω 2 2 = ( 2 + 3 ) k m (E7)

Em que k = 1000 N / m   a n d   m = 20 k g .

ω 1 = 3.6603 r a d / s e c   e   ω 2 = 13.6603 r a d / s e c

r 1 = k 2 - m 2 ω 1 2 + k 2 = 1.36604 , r 2 = k 2 - m 2 ω 2 2 + k 2 = - 0.36602

Com x 1 ( 0 ) = 1 , x ˙ 1 ( 0 ) = 0 , x 2 ( 0 ) = - 1   a n d   x ˙ 2 ( 0 ) = 0 ,   E q s .   ( 5.18 )

Dá x 1 ( 1 ) = - 0.36602 , x 1 ( 2 ) = - 1.36603 , ϕ 1 = 0 , ϕ 2 = 0

Resposta do sistema é

x 1 ( t ) = - 0.36602 c o s ⁡ 3.6603 t - 1.36603 c o s ⁡ 13.6603 t

x 2 ( t ) = - 0.5 c o s ⁡ 3.6603 t + 0.5 c o s ⁡ 13.6603 t

Resposta

x 1 ( t ) = - 0.36602 c o s ⁡ 3.6603 t - 1.36603 c o s ⁡ 13.6603 t

x 2 ( t ) = - 0.5 c o s ⁡ 3.6603 t + 0.5 c o s ⁡ 13.6603 t

Ver Outros Exercícios desse livro