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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 2

Estabeleça as equações diferenciais de movimento para o pêndulo duplo mostrado na Figura 5.17, usando as coordenadas x 1   e   x 2 e supondo pequenas amplitudes. Determine as freqûências naturais, as razões entre amplitudes e as localizações dos nós para os dois modos de vibração quando m 1 = m 2 = m e l 1 = l 2 = l

Passo 1

Pegando momentos sobre O e massa m1

m 1 l 1 2 θ ¨ 1 = - w 1 l 1 s i n ⁡ θ 1 + Q s i n ⁡ θ 2 l 1 c o s ⁡ θ 1

- Q c o s ⁡ θ 2 l 1 s i n ⁡ θ 1

= - w 1 l 1 θ 1 + w 2 l 1 θ 2 - θ 1 (E1)

Assumindo que Q ≃ w 2

m 2 l 2 2 θ ¨ 2 + m 2 l 2 l 1 θ ¨ 1 = - W 2 l 2 s i n ⁡ θ 2

= - W 2 l 2 θ 2 (E2)

Usando as relações θ 1 = x 1 l 1   e   θ 2 = x 2 - x 1 l 2 , Eqs(E1) e (E2) se tornam

m 1 l 1 x ¨ 1 + w 1 + w 2 l 1 + l 2 l 2 x 1 - w 2 l 1 l 2 x 2 = 0 (E3)

m 2 l 2 x ¨ 2 - w 2 x 1 + w 2 x 2 = 0 (E4)

Quando m 1 = m 2 = m , l 1 = l 2 = l   a n d   w 1 = w 2 = m g , Eqs (E3) e (E4) dão

m l x ¨ 1 + 3 m g x 1 - m g x 2 = 0 (E5)

m l x ¨ 2 - m g x 1 + m g x 2 = 0

Passo 2

Para movimento harmônico x i t = x i c o s c o s   ω t   ; i = 1,2 , E q s E 5 se tornam

- ω 2 m l x 1 + 3 m g x 1 - m g x 2 = 0

- ω 2 m l x 2 - m g x 1 + m g x 2 = 0 (E6)

a partir da qual a equação de frequência pode ser obtida como

ω 4 m 2 l 2 - 4 m 2 l g ω 2 + 2 m 2 q 2 = 0

i.e ω 1 2 , ω 2 2 = ( 2 ∓ 2 ) g l

∴ ω 1 = 0.7654 9 l , ω 2 = 1.8478 g l

Passo 3

Razão das amplitudes é dada pela equação (E6)

x 1 x 2 = m g - ω 2 m l + 3 m g = 1 - ω 2 l g + 3

No modo 1 ω 1 = 0.7654 g l , r 1 = x 1 x 1 ( 1 ) = 0.4142

Sem nó

No modo 2 ω 2 = 1.8478 g l

r 2 = x 1 x 2 ( 2 ) = - 2 ⋅ 4133

z 1 = 1 - z 2 ⋅ 4133   o r   z = 0.2930

Um nó localizado em z

Resposta

1 - s e m   n ó

2 – nó em z

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