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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 36

Determine as funções de resposta a impulso de um sistema massa-mola viscosamente amortecido para os seguintes casos:

(a) não amortecido ( c = 0 ) ;(b) subamortecido c < c c ;(c) criticamente amortecido c = c c ;(d) superamortecido c > c c .

Passo 1

(a) Função de resposta ao impulso da unidade para caixa não amortecida:

use ζ = 0 e ω d = ω n na E q ⋅ ( 4 ⋅ 27 ) :

x ( t ) = 1 m ω n s i n ⁡ ω n t (E1)

Passo 2

(b) Função de resposta ao impulso da unidade para caixa não amortecida: Eq 4.27

x ( t ) = 1 m ω d e - ζ ω n t s i n ⁡ ω d t (E2)

Passo 3

(c) Função de resposta ao impulso da unidade para criticamente caixa amortecida:

Resposta de vibração livre de um amortecimento crítico sistema é dado por Eq, (2.80):

x ( t ) = x 0 + x ˙ 0 + ω n x 0 t e - ω n t (E3)

Usando as condições iniciais x 0 = 0 and x ˙ 0 = 1 m , Eq. ( E ⋅ 3 ) dá

x ( t ) = t m e - ω n t (E4)

Passo 4

Função de resposta ao impulso da unidade para um superamortecimento caso:

A resposta de vibração livre de um sistema sempre amortecido é dado por Eq⋅ (2,81):

x ( t ) = c 1 e - ζ + y 2 - 1 ω n t + c 2 e - y - s 2 - 1 ω n t (E5)

x ( t ) = c 1 e t

Em que c 1 = x 0 ω n ζ + ζ 2 - 1 x ˙ 0 2 ω n 3 2 - 1 ; c 2 = - x 0 ω n 3 - ζ 2 - 1 - x ˙ 0 2 ω n ζ 2 - 1

Para as condições iniciais x 0 = 0  e  x ˙ 0 = 1 m ,

C1 e C2 se tornam

C 1 = 1 2 m ω n ζ 2 - 1 ; C 2 = - 1 2 m ω n ζ 2 - 1

E portanto, Eq E5 rende

x ( t ) = 1 2 m ω n ζ 2 - 1 e - ζ + ζ 2 - 1 ω n t - e - ζ - ζ 2 - 1 ω n t (E6)

Resposta

x ( t ) = 1 2 m ω n ζ 2 - 1 e - ζ + ζ 2 - 1 ω n t - e - ζ - ζ 2 - 1 ω n t

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