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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 41

A base de um sistema massa-mola não amortecido está sujeita a uma excitação de aceleração dada por a 0 1 - s e n ⁡ π t / 2 t 0 . Determine o deslocamento relativo da massa z .

Passo 1

Aceleração de base y ¨ ( t ) = a 0 1 - s i n ⁡ π t 2 t 0 (1)

Para um sistema sem amortecimento, o deslocamento relativo é dado por Eq. (4,36):

z ( t ) = - 1 ω n ∫ 0 t   y ¨ ( τ ) s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

= - 1 ω n ∫ 0 t   a 0 s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ - ∫ 0 t   a 0 s i n ⁡ π t 2 t 0 s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E2)

∫ 0 t   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = 1 - c o s ⁡ ω n t ω n (E3)

Passo 2

na solução do problema 4.27

E ∫ 0 t   s i n ⁡ π τ 2 t 0 s i n ⁡ ω n t c o s ⁡ ω n τ - c o s ⁡ ω n t s i n ⁡ ω n τ d τ

= s i n ⁡ ω n t - c o s ⁡ π 2 t 0 - ω n τ 2 π 2 t 0 - ω n - c o s ⁡ π 2 t 0 + ω n τ 2 π 2 t 0 + ω n 0 t

- c o s ⁡ ω n t s i n ⁡ π 2 t 0 - ω n τ 2 π 2 t 0 - ω n - s i n ⁡ π 2 t 0 + ω n τ 2 π 2 t 0 + ω n 0 t (E4)

Portanto, a solução, Eq E2 pode ser expressa como

z ( t ) = - a 0 ω n 1 - c o s ⁡ ω n t ω n - a 0 ω n s   i   n ⁡ ω n t ⋅ c o s ⁡ π 2 t 0 - ω n t 2 π 2 t 0 - ω n

+ c o s ⁡ π 2 t 0 + ω n t 2 π 2 t 0 + ω n - 2 + c o s ⁡ ω n t ⋅ s i n ⁡ π 2 t 0 - ω n t 2 π 2 t 0 - ω n - s i n ⁡ π 2 t 0 + ω n t 2 π 2 t 0 + ω n (E5)

Resposta

z ( t ) = - a 0 ω n 1 - c o s ⁡ ω n t ω n - a 0 ω n s   i   n ⁡ ω n t ⋅ c o s ⁡ π 2 t 0 - ω n t 2 π 2 t 0 - ω n

+ c o s ⁡ π 2 t 0 + ω n t 2 π 2 t 0 + ω n - 2 + c o s ⁡ ω n t ⋅ s i n ⁡ π 2 t 0 - ω n t 2 π 2 t 0 - ω n - s i n ⁡ π 2 t 0 + ω n t 2 π 2 t 0 + ω n

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