Enunciado

Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o ponto A .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

O primeiro a se fazer é colocar as forças envolvidas em linguagem vetorial. A força de 150   N chamaremos de F 1 e a de 200   N de F 2 . Para encontrarmos os vetores de F 1 e F 2 temos que definir os vetores unitários u A C e u A B .

Estes vetores unitários são obtidos dos vetores posição associados r A C e r A B .

Temos que:

r A C = C - A

r A C = 3 i + - 2 j + 0 k - 0 i + - 1,5 j + 4 k

r A C = 3 - 0 i + - 2 - - 1,5 j + 0 - 4 k

r A C = 3 i + - 0,5 j + - 4 k

Sua intensidade vale:

r A C = 3 2 + - 0,5 2 + - 4 2

r A C = 5,025

Temos então que:

u A C = r A C r A C

u A C = 3 i + - 0,5 j + - 4 k 5,025

u A C = 0,597 i + - 0,0995 j + - 0,796 k

Vamos realizar o mesmo procedimento para a direção A B . Temos que:

r A B = B - A

r A B = 3 ⋅ cos ⁡ 60 ° i + 3 ⋅ sen ⁡ 60 ° j + 0 k - 0 i + - 1,5 j + 4 k

r A B = 1,5 - 0 i + 2,6 - - 1,5 j + 0 - 4 k

r A B = 1,5 i + 4,1 j + - 4 k

Sua intensidade vale:

r A B = 1,5 2 + 4,1 2 + - 4 2

r A B = 5,921

Temos então que:

u A B = r A B r A B

u A B = 1,5 i + 4,1 j + - 4 k 5,921

u A B = 0 , 2533 i + 0,692 j + - 0,676 k

Passo 2

Agora que temos os vetores unitários, podemos encontrar os vetores relacionados as forças e encontrar assim a força resultante. Observe:

F 1 = F 1 ⋅ u A B

F 1 = 150 ⋅ 0,2533 i + 150 ⋅ 0,692 j + 150 ⋅ - 0,676 k

F 1 = 37,995 i + 103,8 j + - 101,4 k

E:

F 2 = F 2 ⋅ u A C

F 2 = 200 ⋅ 0,597 i + 200 ⋅ - 0,0995 j + 200 ⋅ - 0,796 k

F 2 = 119,4 i + - 19,9 j + - 159,2 k

Como já temos cada fora representada na forma vertical cartesiana, a força resultante será:

F R = F 1 + F 2

F R = 37,995 i + 103,8 j + - 101,4 k + 119,4 i + - 19,9 j + - 159,2 k

F R = 157,395 i + 83,9 j + - 260,6 k

A intensidade desse vetor vale:

F R = 157,395 2 + 83,9 2 + - 260,6 2

F R = 315,8   N

Passo 3

Agora podemos encontrar o vetor unitário que atua na direção de F R . Com as suas componentes podemos encontrar as direções dos ângulos diretores.

u F R = F R F R

u F R = 157,395 315,8 i + 83,9 315,8 j - - 260,6 315,8 k

u F R = 0,4984 i + 0,2657 j - 0,8252 k

De modo que:

cos ⁡ α = 0,4984

α = cos - 1 ⁡ 0,4984

α = 60,1 °

E:

cos ⁡ β = 0,2657

β = cos - 1 ⁡ 0,2657

β = 74,6 °

E:

cos ⁡ γ = - 0,8252

γ = cos - 1 ⁡ ( - 0,8252 )  

γ = 145,6 °

Passo 4

No gráfico abaixo estão representados os ângulos diretores e o vetor resultante:

Resposta

α = 60,1 °

β = 74,6 °

γ = 145,6 °

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