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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 94

Determine o momento de inércia de massa I y do sólido formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y . A densidade do material é ρ . Expresse o resultado em termos da massa m da semielipsoide.

Passo 1

O problema pede que encontremos o momento de inércia no eixo y e que expressemos em termos de massa.

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π r 2 d x

E sabemos que:

r = z = b 1 + y 2 a 2

Então:

d m = ρ π b 1 + y 2 a 2 2   d z

d m = ρ π b 2 1 - y 2 a 2 d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 a ρ π b 2 1 - y 2 a 2 d y

Resolvendo a integral, temos que:

m = 2 3 ρ π a b 2

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo y , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I y = 1 2 d m ( r ) 2

Ou seja:

d I y = 1 2 ρ π r 2   d y r 2 = 1 2 ρ π r 4 d y = 1 2 ρ π b 1 + y 2 a 2 4 d y

Simplificando isso, chegamos á:

d I y = 1 2 ρ π b 4 1 + y 4 a 4 - 2 y 2 a 2 d y

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I y = ∫ d I y = ∫ 0 2 00 1 2 ρ π b 4 1 + y 4 a 4 - 2 y 2 a 2 d y

Resolvendo, a gente encontra:

I y = 4 15 ⋅ ρ π a b 4

Está quase acabando, é que o problema está pedindo esse resultado em relação a massa, e sabemos que a massa é:

3 2 m = ρ π a b 2

Então I y pode ser escrito como:

I y = 4 15 ρ π a b 2 b 2 = 4 15 3 m 2 b 2

Logo:

I y = 2 5 m b 2

Resposta

I y = 2 5 m b 2

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