Enunciado

Determine o produto de inércia de um quarto de área elíptica em relação aos eixos x   e y .

Passo 1

O elemento diferencial de área paralelo ao eixo y é dado por d A = y   d x . Além disso, temos que

y = b a a 2 - x 2 → d A = b a a 2 - x 2   d x

As coordenadas do centroide para essa figura são dadas por

x c = x   e   y c = y 2 = b 2 a a 2 - x 2  

Sendo assim, o diferencial do produto inercial com relação aos eixos x   e   y será

d I x y = d I - x ' y ' + d A x c y c  

d I x y = 0 + b a a 2 - x 2 d x ⋅ x ⋅ b 2 a a 2 - x 2 = b 2 2 a 2 ⋅ a 2 x - x 3 d x

Então, nosso produto inercial será dado pela integração de ambos os lados, assim

I x y = ∫ d I x y = ∫ 0 a b 2 2 a 2 ⋅ a 2 x - x 3 d x = a 2 b 2 8

Resposta

I x y = a 2 b 2 8

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