Determine a resposta em regime permanente de um sistema não amortecido com um grau de liberdade sujeito à força F ( t ) = F 0 e i ω t utilizando o método da transformada de Laplace.

Passo 1

Equação do movimento é x ¨ + ω n 2 x = F 0 m e i ω t

Para condições iniciais zero

s 2 + ω n 2 x _ ( s ) = F 0 m ⋅ 1 s - i ω ; x _ ( s ) = F 0 m ⋅ 1 s 2 + ω n 2 ⋅ s + i ω s 2 + ω 2

Transformada de Laplace inversa dá:

x ( t ) = F 0 m 1 ω n 2 - ω 2 e i ω t - c o s ⁡ ω n t + i ω ω n s i n ⁡ ω n t

Passo 2

Os termos contendo c o s ⁡ ω n t   e   s i n ⁡ ω n t denotam o transiente parte da resposta e, portanto, pode ser negligenciada. Assim, o constante a resposta do estado pode ser expressa como

x ( t ) = F 0 k 1 1 - r 2 e i ω t   e m   q u e   r = ω / ω n .

Resposta

x ( t ) = F 0 k 1 1 - r 2 e i ω t   e m   q u e   r = ω / ω n .

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