Determine o deslocamento de um sistema amortecido com um grau de liberdade sob a função forçante F ( t ) = F 0 e - α t , onde α é uma constante.

Passo 1

Para um sistema sem amortecimento Eq (4.33)

Da Eq (4.33)

x ( t ) = 1 m ω 1 ∫ 0 t   F 0 e - α τ e - τ ω n ( t - τ ) s i n ⁡ ω d ( t - τ ) d τ

= F 0 m ω d e - τ ω n t ∫ 0 t   e - α - τ ω n τ s i n ⁡ ω d ( t - τ ) d τ

x ( t ) = F 0 e - - ζ ω n t m ω d ∫ 0 t   e - α - ζ ω n τ ⋅ s i n ⁡ ω d t ⋅ c o s ⁡ ω d τ - c o s ⁡ ω α t ⋅ s i n ⁡ ω α τ d τ = F 0 e - ζ ω n t m ω d s i n ⁡ ω 2 t e - α - Y ω n τ α - T ω n 2 + ω d 2 - α - ζ ω n c o s ⁡ ω d τ + ω d s i n ⁡ ω d τ 0 t

Passo 2

- F 0 e - Y ω n t m ω d c o s ⁡ ω α t e - α - T ω n τ α - J ω n 2 + ω d 2 - α - J ω n s i n ⁡ ω α τ - ω α c o s ⁡ ω α τ 0 t = F 0 e - ζ ω n t m ω d α - r ω n 2 + ω d 2 ω d e - α - ζ ω n t + α - J ω n s i n ⁡ ω α t - ω d c o s ⁡ ω d t = F 0 e - α t m α - γ ω n 2 + ω d 2 + F 0 e - ζ ω n t m ω α α - ζ ω n 2 + ω α 2 s i n ⁡ ω d t - ϕ

Em que ϕ = t a n - 1 ⁡ ω d α - Y ω n

Viu como foi de boa?! Agora vamos pra próxima 😊

Resposta

ϕ = t a n - 1 ⁡ ω d α - Y ω n

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