Enunciado

Determine a resposta de regime permanente de uma viga em balanço que está sujeita a um momento fletor escalonado de magnitude M 0 aplicado repentinamente a sua extremidade livre.

Passo 1

E aí, galerinha!

Simbora lá, meus queridos!

Bom, Para esse tipo de viga, descrito na imagem a seguir...

De acordo com a nossa bibliografia, é o mesmo esquema do exercício anterior para esse tipo de viga

w ( x , t )   = ∑ n = 1 ∞ W n x q n ( t )

Para resposta de estado estacionário, vamos assumir que a solução particular é dada por...

w x , t = W x sen ⁡ ω t   ( i i )

Substituindo a equação ( i i ) em ( i ) , temos que...

d 4 w d x 4 - ω 2 c 2 W = F 0 ρ A c 2   ( i i i )

Onde...

c 2 = E I ρ A

Passo 2

Continuando nosso raciocínio, a gente tem também que a solução da equação ( i i i ) é dada por...

W x = C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x + C 3 cosh ⁡ β x + C 4

Dessa forma, temos que...

w x , t = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n π x l ( A n cos ⁡ ω n t + B n sen ⁡ ω n t )

Passo 3

Em t = 0 , sabemos que pela nossa barra estar simplesmente apoiada e a carga ser removida repentinamente, isto é, em t = 0 ...

∂ w ∂ t x , 0 = 0

E então, temos que...

E I   ∂ 4 w ∂ x 4 x , 0 = f 0

Agora, vamos substituir t = 0 em ∂ w ∂ t ( x , t ) :

∂ w ∂ t x , 0 = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n π x l ( - ω n A n sen ⁡ ω n t + B n ω n cos ⁡ ω n t ) = 0

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n π x l ( - ω n A n sen ⁡ 0 + B n ω n cos ⁡ 0 ) = 0

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n π x l ( B n ) = 0

A melhor chance disso aí dar zero é quando...

B n = 0

Passo 4

Quanto à equação da viga que relaciona à carga distribuída, temos que ela transformada fica assim, como já destacado na bibliografia...

E I ∑ n = 1 ∞ A n n π l 4 sen ⁡ n π x l = f 0

O melhor jeito de resolver isso aí, então, é multiplicar ambos os lados dessa equação por sen ⁡ n π x l ...

E depois, como temos um somatório, usar a integração. No caso, os limites aqui vão de 0 até l , que é o comprimento total dessa barra...

E I ∑ n = 1 ∞ A n n π l 4 sen 2 ⁡ n π x l = f 0 sen ⁡ n π x l

Obtemos então, que...

A n = 2 l 3 E I n 4 π 4 ∫ 0 l f 0 sen ⁡ n π x l d x

A n = 2 l 3 f 0 E I n 4 π 4 cos ⁡ n π x l n π l 0 l

A n = 2 l 3 f 0 E I n 4 π 4 ⋅ l ( - - 1 n + 1 ) π n

Como - 1 n = cos ⁡ n π ,   n = 1 , 3,5 , … Então, ficamos com

A n = 2 l 4 f 0 E I n 5 π 5 1 - cos ⁡ n π

E uma vez que...

cos ⁡ n π = 1   ; n = 0,2 , 4 cos ⁡ n π = - 1 ; n = 1,3 , 5

A fórmula final pra A n vai ser essa...

A n = 4 l 4 f 0 E I n 5 π 5 ,   n = 1,3 , 5 …

E aí, é só substituir em w ( x , t ) :

w x , t = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n π x l ( A n + B n )

w x , t = M 0 ρ A l ω n 2 ( 1 - cos ⁡ ω n t )  

Pronto! Terminamos aqui, meus queridos!

Resposta

w x , t = M 0 ρ A l ω n 2 ( 1 - cos ⁡ ω n t )

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