Determine a resposta de um sistema viscosamente amortecido à força periódica cujos valores são dados no Problema 1.74. Considere que M t denota o valor da força em Newtons no tempo t i segundos. Use m = 0,5   k g , k = 8.000   N / m e ζ = 0,06

Passo 1

Do problema 1.74

F ( t ) = 1137.5 - 414.9436 c o s ⁡ 523.6 t + 150 ⋅ 3139 s i n ⁡ 523.6 t

+ 28.6058 c o s ⁡ 1047.2 t - 146.1706 s i n ⁡ 1047.2 t

+ 35.7278 c o s ⁡ 1570.8 t + 55.1546 s i n ⁡ 1570.8 t (E1)

ω n = 1 m = 8000 0.5 = 126.4911 r a d / s e c ; ζ = 0.06

r = ω ω n = 523.6 126.4911 = 4.1394 ; r 2 = 17.1348 ; 1 - r 2 = - 16.1348

2 ζ r = 2 ( 0.06 ) ( 4.1394 ) = 0.4967

x t ( t ) = 1137.5 k - 414.9436 * cos ⁡ 523.6 t - ϕ 1 1 - r 2 2 + ( 2 ζ r ) 2

+ 150.3139 k sin ⁡ 523.6 t - ϕ 1 1 - r 2 2 + ( 2 ζ r ) 2 + 28.6058 k c o s ⁡ ( 1047.2 t - ϕ / 2 ) 1 - 4 r 2 2 + ( 4 ζ r ) 2

- 146.1706 k sin ⁡ 1047.2 t - ϕ 2 1 - 4 r 2 2 + ( 4 ζ r ) 2 + 35 ⋅ 7278 k c o s ⁡ ( 1570 ⋅ s t - ϕ / 3 ) 1 - 9 r 2 2 + ( 6 ζ r ) 2

+ 55.1546 k sin ⁡ 1570.8 t - ϕ 3 1 - 9 r 2 2 + ( 6 ζ r ) 2 (E2)

Passo 2

Uma vez que

ϕ 1 = t a n - 1 ⁡ 2 ζ r 1 - r 2 = t a n - 1 ⁡ ( - 0.0308 ) = - 0.0308

ϕ 2 = t a n - 1 ⁡ 4 ζ r 1 - 4 r 2 = t a n - 1 ⁡ ( - 0.0147 ) = - 0.0147

ϕ 3 = t a n - 1 ⁡ 6 ζ r 1 - 9 r 2 = t a n - 1 ⁡ ( - 0.00973 ) = - 0.00973

Passo 3

A solução do estado estacionário, Eq (E2) pode ser expresso por

x p ( t ) = 0.1422 - 0.003211 c o s ⁡ ( 523.6 t + 0.0308 )

+ 0.001163 s i n ⁡ ( 523.6 t + 0.0308 ) + 5.2921 × 10 5 c o s ⁡ ( 1047.2 t + 0.0147 )

- 2.7042 × 10 - 4 s i n ⁡ ( 1047.2 t + 0.0147 ) + 2.9145 × 10 - 5 c o s ⁡ ( 1570.8 t + 0.00973 )

+ 4.4992 × 10 - 5 s i n ⁡ ( 1570.8 t + 0.00973 ) m

Resposta

4.4992 × 10 - 5 s i n ⁡ ( 1570.8 t + 0.00973 ) m

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