A estrutura de um edifício está sujeita a uma carga de explosão, e a idealização da estrutura e da carga são mostradas na Figura 4.11. Se m = 5.000   k g , F 0 = 4 M N e t 0 = 0,4   s , determine a rigidéz mínima' exigida se o deslocamento tiver de ser limitado a 10   m m .

Passo 1

Do Exemplo 4.10, a resposta da estrutura do edifício é dada por

x ( t ) = F 0 k 1 - t t 0 - c o s ⁡ ω n t + 1 ω n t 0 s i n ⁡ ω n t , 0 ≤ t ≤ t 0 (E1)

x ( t ) = F 0 k ω n t 0 1 - c o s ⁡ ω n t 0 s i n ⁡ ω n t - ω n t 0 - s i n ⁡ ω n t 0 c o s ⁡ ω n t , t > t 0 (E2)

(i) For  0 ≤ t ≤ t 0 :

Para x (t) ser máximo, a quantidade dentro do quadrado os braços em (E1) devem ser no máximo. Isso implica que

d d t 1 - t t 0 - c o s ⁡ ω n t + 1 ω n t 0 s i n ⁡ ω n t = 0

i.e.,  ω n t 0 s i n ⁡ ω n t = 1 - c o s ⁡ ω n t

i.e.,  ω n t 0 c o s ⁡ ω n t 2 = s i n ⁡ ω n t 2

i.e.,  t a n ⁡ ω n t 2 = ω n t 0 (E3)

Assim, se x (t) atinge seu valor máximo em t = tmax, Eq⋅ (E3) dá

t m a x = 2 ω n t a n - 1 ⁡ ω n t 0

Uma vez que tmax é conhecido de E4, E1 dá:

x m a x = x t = t m a x = F 0 k 1 - t m a x t 0 - c o s ⁡ ω n t m a x + 1 ω n t 0 s i n ⁡ ω n t m e x (E5)

Passo 2

( ii ) For  t > t 0  :

Para x (t) ser máximo, a quantidade entre colchetes em Eq⋅ (E2) deve ser máximo. Isso implica que

d d t 1 - c o s ⁡ ω n t 0 s i n ⁡ ω n t - ω n t 0 - s i n ⁡ ω n t 0 c o s ⁡ ω n t = 0

i.e,   1 - c o s ⁡ ω n t 0 ω n c o s ⁡ ω n t + ω n t 0 - s i n ⁡ ω n t 0 ω n s i n ⁡ ω n t = 0

i.e,   t a n ⁡ ω n t = - 1 - c o s ⁡ ω n t 0 ω n t 0 - s i n ⁡ ω n t 0 (E6)

Se x (t) atinge seu máximo em t = tmax, Eq⋅ (E6) dá

t m a x = 1 ω n t a n - 1 ⁡ - 1 + c o s ⁡ ω n t 0 ω n t 0 - s i n ⁡ ω n t 0 (E7)

uma vez que tmax é calculado de E7, E2 dá

x m a x = x t = t m a x = F 0 k ω n t 0 1 - c o s ⁡ ω n t 0 2 + ω n t 0 - s i n ⁡ ω n t 0 2 1 2 (E8)

Passo 3

Dados fornecidos:

m = 5000 k g , F 0 = 4 × 10 6 N , t 0 = 0.4 s e c , x m a x ≤ 0.01 m .

ω n = k / m = 0.01414 k

Procedimento:

Suponha uma série de valores de k.

Encontre tmax usando as Eqs. (E4) e (E7).

Encontre xmax usando as Eqs. (E5) e (E8).

Selecione k tal que xmax⩽0,01 m em E2⋅ (E5) ou (EB).

O programa de computador de amostra e os resultados são mostrados abaixo.

X M = 5000.0

F O = 4.0 E + 6

T O = 0.4

x K = 0.0

DO 10 I = 1,100

X K = X K + 1.0 E + 7

O M N = 0.01414 * S G R T ⁡ ( X X )

TMAX 1 = ( 2. 0 / OMN ) #A TAN ( CiAN*TO)

2 ( OMN*TO) )

X N R = - ( 1.0 - c o S ⁡ ( O M N * T O ) )

XDR= (DMN* TO-SIN(CMN*TO))

TMA  X Z = A  TAN  i  X N R / X C R ; /  CMA

X 1 = ( 1,0 - C O S ⁡ ( 0 M N + T 0 ) > * 2

X 2 =  COMNNTO-SIN ( OIN*TO) i* 퓰

× 3 = ( × 1 + x 2 ) ⋯ 0.5

X M A × 2 = X 3 * F O / ( X K * O M N * T O )

PRINT  5 , I , X K ,  TMAX  1 ,  XMAX  1 ,  TMAXZ, XMAXZ

5   F ORMAT(I5,  2 X , E 15,4 , 2 X , e E ⁡ 12.4,2 X , 2 E 12.4 )

10 CONTINUE

STOP

END

1         0.1000 E + 08         0.6776 E - 01         0.7322 E + 00         - 0.5134 E - 03

0.2000 E + 08         0.4843 E - 01         0.3758 E + 00         - 0.8204 E - 05         0.196 % % . 00

3         0.3000 E + 08         0.3973 E - 01         0.2534 E + 00         - 0.3859 E - 04         0.13 t , t : 100

4         0.4000 E + 08         0.3450 E - 01         0.1914 E + 00         - 0.4108 E - 03         0.10 : 1 E : V O

5         0.5000 E + 08         0.3092 E - 01         0.1536 E + 00         - 0.4234 E - 03         0.7857 E ⋅ 01

Esses resultados indicam que a rigidez necessária é   k = 8 × 10 8   N / m .

Resposta

k = 8 × 10 8   N / m .

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