Determine a resposta transitória de um sistema massa-mola não amortecido para t > π / ω quando a massa está sujeita a uma força

F ( t ) = F 0 2 ( 1 - c o s ⁡ ω t )  para  0 ≤ t ≤ π ω F 0  para  t > π ω

Suponha que o deslocamento e a velocidade da massa sejam zero em t = 0 .

Passo 1

Para um sistema sem amortecimento Eq (4.33)

Para 0 ≤ t ≤ π ω :

Equação do movimento: m x ¨ + k x = F 0 2 - F 0 2 c o s ⁡ ω t

x ( t ) = A c o s ⁡ ω n t + B s i n ⁡ ω n t + F 0 2 k - F 0 2 k 1 - ω 2 ω n 2 c o s ⁡ ω t

x ( 0 ) = 0 ∴ A + F 0 2 k - F 0 2 k 1 - ω 2 ω n 2 , A = ω n 2 2 k 1 - ω ω n 2

x ˙ ( 0 ) = 0 ∴ B = 0

x ( t ) = F 0 2 k 1 - ω ω n 2 1 - c o s ⁡ ω t - ω ω n 2 1 - c o s ⁡ ω n t

Em t = π ω , x π ω = F 0 2 k 1 - ω 2 ω n 2 2 - ω 2 ω n 2 1 - c o s ⁡ ω n π ω

Passo 2

Para t > π ω : E q ⋅ ( 4.33 )  dá  x ( t ) = 1 m ω n ∫ 0 t   F ( τ ) s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

x ( t ) = 1 m ω n ∫ 0 π / ω   F ( τ ) ⋅ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ + 1 m ω n ∫ π / ω t   F ( τ ) s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

= x t = π ω + F 0 m ω n ∫ π / ω t   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

= x t = π ω + F 0 m ω n 2 c o s ⁡ ω n ( t - τ ) τ t = π / ω

= F 0 2 k 1 - ω 2 ω n 2 2 - ω 2 ω n 2 1 - c o s ⁡ ω n π ω + F 0 k 1 - c o s ⁡ ω n t - π ω

Viu como foi de boa?! Agora vamos pra próxima 😊

Resposta

= F 0 2 k 1 - ω 2 ω n 2 2 - ω 2 ω n 2 1 - c o s ⁡ ω n π ω + F 0 k 1 - c o s ⁡ ω n t - π ω

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