Derive a Equação (E.1) do Exemplo 4.9 .

Passo 1

Faaala galera, vamos lá pra mais uma questão?! Essa vai ser bem tranquila!

I_1 = int_0^t ( t - tau ) e^(- Y omega_n ( t - tau )) s i n omega_d ( t - tau ) ( - d tau )

= [(( t - tau ) e^(- zeta omega_n ( t - tau )))/((zeta omega_n)^2 + omega_d^2) {- zeta omega_n s i n omega_d ( t - tau ) - omega_alpha c o s omega_d ( t - tau )})

(- (e^(- zeta omega_n ( t - tau )))/((r omega_n)^2 + omega_d^2) {(zeta^2 theta_n^2 - omega_d^2) s i n omega_d ( t - tau ) + 2 r omega_n omega_d c o s omega_d ( t - tau )}]_(tau = 0)^t

= - (1)/(omega_n^4) (2 zeta omega_n omega_d) + (t e^(- zeta omega_n t))/(omega_n^2) (zeta omega_n s i n omega_d t + omega_d c o s omega_d t)

+ (e^(- zeta omega_n t))/(omega_n^4) {omega_n^2 (2 zeta^2 - 1) s i n omega_d t + 2 T omega_n omega_d c o s omega_d t}

Passo 2

I_2 = int_0^t e^(- zeta omega_n ( t - tau )) s i n omega_d ( t - tau ) ( - d tau )

= [(e^(- zeta omega_n ( t - tau )))/(zeta^2 omega_n^2 + omega_d^2) {- r omega_n s i n omega_alpha ( t - tau ) - omega_d c o s omega_d ( t - tau )}]_(tau = 0)^t

= - (omega_d)/(omega_n^2) + (e^(- zeta omega_n t))/(omega_n^2) (zeta omega_n s i n omega_d t + omega_d c o s omega_d t)

x ( t ) = (delta F)/(m omega_d) * I_1 - (delta F * t)/(m omega_d) * I_2

= (delta F)/(k) [t - (2 zeta)/(omega_n) + e^(- zeta omega_n t) {(2 zeta)/(omega_n) c o s omega_d t - ((omega_d^2 - omega_n^2)/(omega_n^2 omega_d)) s i n omega_d t}]

Viu como foi de boa?! Agora vamos pra próxima 😊

Resposta

= (delta F)/(k) [t - (2 zeta)/(omega_n) + e^(- zeta omega_n t) {(2 zeta)/(omega_n) c o s omega_d t - ((omega_d^2 - omega_n^2)/(omega_n^2 omega_d)) s i n omega_d t}]

Ver Outros Exercícios desse livro