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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 24

Determine a resposta à vibração livre do sistema com dois graus de liberdade mostrado na Figura: 5.4 , com n = 1 , k = 8 e m = 2 para as condipóes-niciais x 1 ( 0 ) = 1 , x 2 ( 0 ) = x ˙ 1 ( 0 ) = 0 e x ˙ 2 ( 0 ) = 1

Passo 1

Equação do movimento

m 1 x ¨ 1 + k 1 + k 2 x 1 - k 2 x 2 = 0

m 2 x ¨ 2 - k 2 x 1 + k 2 + k 3 x 2 = 0 (1)

Problema do autovalor

- m 1 ω 2 + k 1 + k 2   - k 2   - k 2   - m 2 ω 2 + k 2 + k 3   x 1   x 2     = 0   0   (2)

Passo 2

Para os dados k 1 = k 3 = 8 , k 2 = n k = 8 , m 1 = m 2 = m = 2 , eq (2) se torna

- 2 ω 2 + 16         - 8   - 8         - 2 ω 2 + 16   x 1   x 2   = 0   0   (3)

Equação da frequência

- 2 ω 2 + 16 2 - 8 2 = 0

Ou ω 2 = 4,12

Ou ω = 2,3.4641 (4)

Para ω 1 2 = 4 , Eq(3) dá

[ - 2 ( 4 ) + 16 ] x 1 = 8 x 2   o u   x 1 = x 2

∴ x → ( 1 ) = 1   1   x 1 ( 1 ) (5)

Para ω 2 2 = 12 ,   eq (3) se torna

[ - 2 ( 12 ) + 16 ] x 1 = 8 x 2   o u   x 2 = - x 1

∴ x → ( 2 ) = 1   - 1   x 1 ( 2 ) (6)

Passo 3

Livre vibração de resposta das massas m 1   e   m 2 são dados por

x 1 ( t ) = x 1 ( 1 ) c o s ⁡ 2 t + ϕ 1 + x 1 ( 2 ) c o s ⁡ 3.4641 t + ϕ 2 (7)

x 2 ( t ) = x 1 ( 1 ) c o s ⁡ 2 t + ϕ 1 - x 1 ( 2 ) c o s ⁡ 3.4641 t + ϕ 2 (8)

Em que x 1 ( 1 ) , x 1 ( 2 ) , ϕ 1   e   ϕ 2 são constantes para serem determinadas das condições iniciais. Usando as condições iniciais dadas, eqs (7) e (8) se tornam

x 1 ( t = 0 ) = 1 = x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 + x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ϕ 2 (9)

x 2 ( t = 0 ) = 0 = x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 - x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ϕ 2 (10)

x ˙ 1 ( t = 0 ) = 0 = - 2 x 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 - 3.4641 x 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2 (11)

x ˙ 2 ( t = 0 ) = 1 = - 2 x 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 + 3.4641 x 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2 (12)

Eq(9) e (10) se tornam

x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 = x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ϕ 2 = 1 2 (13)

Eq (11) e (12) se tornam

x 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 = - 0.25 , x 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2 = 0.1443 (14)

Da eq (13) e (14), podemos encontrar

x 1 ( 1 ) = 1 2 2 + - 1 4 2 1 2 = 0.5590

ϕ 1 = t a n - 1 ⁡ x 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 x i ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 = t a n - 1 ⁡ ( - 0.5 ) = - 0.4636 r a d

x 1 ( 2 ) = 1 2 2 + ( 0.1443 ) 2 1 2 = 0.5204

ϕ 2 = t a n - 1 ⁡ x 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2 x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ϕ 2 = t a n - 1 ⁡ ( 0.2886 ) = 0.2810 r a d

Passo 4

Resposta da livre vibração de m1 e m2

x 1 ( t ) = 0.5590 c o s ⁡ ( 2 t - 0.4636 ) + 0.5204 c o s ⁡ ( 3.4641 t + 0.2810 )

x 2 ( t ) = 0.5590 c o s c o s   2 t - 0.4636   - 0.5204 c o s ⁡ ( 3.4641 t + 0.2810 )

Resposta

x 1 ( t ) = 0.5590 c o s ⁡ ( 2 t - 0.4636 ) + 0.5204 c o s ⁡ ( 3.4641 t + 0.2810 )

x 2 ( t ) = 0.5590 c o s c o s   2 t - 0.4636   - 0.5204 c o s ⁡ ( 3.4641 t + 0.2810 )

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