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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 50

Determine a resposta em regime permanente do sistema mostrado na Figura 5.16 usando o método da impedância mecânica, quando a massa m 1 está sujeita à força F ( t ) = F 0 sen ω t m 1 na direção de x ( 0 )

Passo 1

Equações do movimento

m 1 x ¨ 1 + k 1 + k 2 x 1 - k 2 x 2 = F 1 ( t ) = F 0 s i n ⁡ ω t … . E 1

m 2 x ¨ 2 + k 2 x 2 - k 2 x 1 = 0   … . E 2

Nós usamos F 0 e i ω t   ( c o m   i = - 1 )   p a r a   F 1 ( t ) e considere apenas a parte imaginária no final

Deixe x j ( t ) = x j e i ω t ; j = 1,2

Eq (E1) e (E2) se tornam

- m 1 ω 2 x 1 e i ω t + k 1 + k 2 x 1 e i ω t - k 2 x 2 e i ω t = F 0 e i ω t

- m 2 ω 2 x 2 e i ω t + k 2 x 2 e i ω t - k 2 x 1 e i ω t = 0

Passo 2

i.e [ z ( i ω ) ] x → = F → 0 (E3)

em que x → = x 1   x 2   , F 0 → = F 10   F 20   = F 0   0  

[ Z ( i ω ) ] = z 11 ( i ω )         z 12 ( i ω )   z 21 ( i ω )         z 22 ( i ω )  

z 11 ( i ω ) = - m 1 ω 2 + k 1 + k 2 , z 12 ( i ω ) = z 21 ( i ω ) = - k 2

Z 22 ( i ω ) = - m 2 ω 2 + k 2

Eq (5.35) dá

x 1 ( i ω ) = - m 2 ω 2 + x 2 F 0 - m 1 ω 2 + k 1 + k 2 - m 2 ω 2 + k 2 - k 2 2

x 2 ( i ω ) = k 2 F 0 - m 1 ω 2 + k 1 + k 2 - m 2 ω 2 + k 2 - k 2 2

Uma vez que F 0 s i n ⁡ ω t = I m ⁡ F 0 e i ω t , x j ( t ) = I m X j e i ω t = x j s i n ⁡ ω t

∴ x 1 ( t ) = - m 2 ω 2 + k 2 F 0 - m 1 ω 2 + k 1 + k 2 - m 2 ω 2 + k 2 - k 2 2 s i n ⁡ ω t

x 2 ( t ) = k 2 F 0 - m 1 ω 2 + k 1 + k 2 - m 2 ω 2 + k 2 - k 2 2 s i n ⁡ ω t

Resposta

x 1 ( t ) = - m 2 ω 2 + k 2 F 0 - m 1 ω 2 + k 1 + k 2 - m 2 ω 2 + k 2 - k 2 2 s i n ⁡ ω t

x 2 ( t ) = k 2 F 0 - m 1 ω 2 + k 1 + k 2 - m 2 ω 2 + k 2 - k 2 2 s i n ⁡ ω t

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