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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 52

Dois perfis C laminados são soldados a uma placa de aço d × 300   m m , tal como mostra a figura. Determine a largura d para a qual a razão I - x / I - y entre os momentos de inércia centroidais da seção composta seja 16 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nossa condição é de que:

I - x I - y = 16

Temos que o momento de inércia da placa em x (seção 1), é dado por:

I x 1 = 1 12 b h 3

I x 1 = 1 12 d 300 3

I x 1 = 2,25 d × 10 6   m m 4

Por simetria, temos que o momento de inércia dos perfis C é o mesmo, portanto:

I x 2 = I x 3 = 28 × 10 6   m m 4

Portanto o momento de inércia sobre o eixo x é dado por:

I - x = I x 1 + I x 2 + I x 3

I - x = 2,25 d × 10 6   + 2 28 × 10 6

Passo 2

Temos que o momento de inércia da placa em y (seção 1), é dado por:

I y 1 = 1 12 b 3 h

I y 1 = 1 12 d 3 300

I y 1 = 25 d 3   m m 4

Por simetria, temos que o momento de inércia dos perfis C é o mesmo, portanto:

I y 2 = I y 3 = 0,945 × 10 6 + 2890 d 2 + 16,1 2

I y 2 = I y 3 = 845000 + 2890 [ 0,5 d 2 + ( 2 ) 0,5 d 16,1 + 16,1 2 ]

I y 2 = I y 3 = 845000 + 722,5 d 2 + 46529 d + 749116,9

I y 2 = I y 3 = 95883,1 + 722,5 d 2 + 46529 d

Portanto o momento de inércia sobre o eixo y é dado por:

I - y = I y 1 + I y 2 + I y 3

I - y = 25 d 3 + 2 95883,1 + 722,5 d 2 + 46529 d

Passo 3

Aplicando a relação, temos que:

I - x I - y = 16

2,25 d × 10 6   + 2 28 × 10 6 25 d 3 + 2 95883,1 + 722,5 d 2 + 46529 d = 16

Com o auxílio de uma calculadora gráfica, encontramos:

d = 46,022   m m

Resposta

d = 46,022   m m

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