Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 107
Duas chapas de reforço são soldadas à viga de aço laminado mostrada. Usando E = 200 GPa, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão na extremidade A.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal! Nesse exercício nós vamos dividir o DCL em dois, um com a força localizada de 40 kN e o outro com o carregamento distribuído de 90 kN/m. Então, para o primeiro caso, teremos:
Beleza, para esse DCL, teremos momento ao longo de toda a viga, no entanto como a seção varia entre AB e BC, precisamos calcular as duas parcelas de . Começando pela parcela AB, precisamos pegar o momento de inércia para a viga W410 X 60 lá no apêndice C do livro, onde teremos:
Então o produto EI na porção AB será:
Agora para a porção BC da viga, temos que o momento de inércia resultante será o momento da viga mais o momento gerado pela adição das placas de reforço. Então o momento resultante será:
Substituindo os valores conhecidos, teremos:
Então o produto EI para a porção BC será:
Passo 3
Agora, como temos uma força localizada para o nosso primeiro DCL, sabemos que o diagrama de momento, e consequentemente o diagrama , será uma reta inclinada. Então só precisamos achar os valores dos momentos em B e em C. Sabendo que o momento nesse caso é dado por:
Então, o momento no ponto B e no ponto C serão:
Então, os valores nesses dois pontos serão:
Beleza, com esses valores conseguimos desenhar o diagrama para o primeiro DCL (observe que vamos dividir a porção BC em dois triângulos, para que possamos calcular a área e o centroide com mais facilidade) será:
Passo 4
Agora vamos considerar o segundo DCL, onde temos o carregamento distribuído, nesse caso, nosso DCL será:
Então, sabemos que para os casos onde temos somente carregamento distribuído, teremos uma curva de momento, e consequentemente de , parabólica, onde o momento será dado por:
Então, no nosso caso, teremos momento 0 em B, onde começa o carregamento e momento máximo em C, que será:
Então, o valor de nesse ponto será:
E o diagrama para esse carregamento será:
Passo 5
Então, agora que temos os diagramas para os dois carregamentos, vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, sempre com relação a base das figuras, então teremos 3 triângulos e 1 triângulo com hipotenusa parabólica, caso onde iremos consultar a Fig. 9.31 vista nessa seção para calcular a área e o centroide, então teremos:
Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama , então a inclinação do ponto A será:
Substituindo os valores encontrados para as áreas, teremos:
Passo 6
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!