Enunciado

O eixo é constituído de uma barra que tem uma massa por unidade de comprimento de 2   k g / m . Determine as componentes x ,   y ,   z da reação nos mancais A e B se, no instante mostrado, o eixo gira livremente e tem uma velocidade angular ω = 30   r a d / s . Qual é a aceleração angular do eixo nesse instente? O mancal A pode suportar um componente de força na direção y , enquanto o mancal B não pode.

Passo 1

O DCL do problema é mostrado abaixo.

O peso do sistema é determinado por

∑ W = l ρ l g = 3 0,2 + 1,2 2 9,81 = 35,316   N

A posição do centro de massa será

∑ x - W = x 1 W 1 + x 2 W 2 + x 3 W 3

∑ x - W = 0 1,2 2 9,81 + 0,1 0,4 2 9,81 + 0,2 0,2 2 9,81 = 1,5696   N . m

x - = ∑ x - W ∑ W = 1,5696 35,316 = 0,04444   m

O momento de inércia de massa em y e z serão

I x = 2 1 3 l 1 ρ l L 2 + l 2 ρ l d 2 = 2 1 3 ( 0,2 ) ( 2 ) ( 0,2 ) 2 + ( 0,2 ) ( 2 ) ( 0,2 ) 2 = 0,02667   k g . m 2

Passo 2

Sabendo que

ω x = ω z = 0

ω y = 30   r a d / s

ω ˙ x = ω ˙ z = 0

Assim, aplicando a equação do movimento em relação a direção x , temos

∑ M x = I x ω ˙ x - I y - I z ω y ω z

Eq. 1:

B z 0,7 - A z 0,7 = 0

Para direção y

∑ M y = I y ω ˙ y - I z - I x ω z ω x

35,316 0,04444 = 0,02667 ω ˙ y

ω ˙ y = 58,9   r a d / s 2

Da mesma forma, para a direção z :

∑ M z = I z ω ˙ z - I x - I y ω x ω y

Eq. 2:

B x 0,7 - A x 0,7 = 0

Passo 3

Fazendo o somatório das forças nas três direções, temos

∑ F x = m a G x

Eq. 3:

- A x - B x = - 1,8 2 0,0444 30 2

Assim,

∑ F y = m a G y

A y = 0

E

∑ F z = m a G z

Eq. 4:

A z + B z - 35,316 = - 1,8 2 0,0444 58,9 2

Resolvendo o sistema formado pelas equações (2) e (3), obtemos

A x = B x = 72   N

Similarmente, resolvendo (1) e (4), encontramos

A z = B z = 12,9   N

Resposta

Os componentes das reações são: A y = 0 , A x = B x = 72   N   e A z = B z = 12,9   N . E a aceleração angular do eixo é igual a 58,9   r a d / s 2 .

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