Enunciado

Estime a frequência fundamental para a vibração longitudinal de uma barra uniforme fixa em x   =   0 e livre em x =   l . Considerando a forma modal como:

W x = c 0 x l 2

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa!

De cara já sabemos que a equação de solução da viga, é dada por...

W x = c 0 x l 2

Vamos então, como é de prache, tirar a primeira e a segunda derivadas disso...

Dessa forma;

d W d x = c 0 2 x l 2

d 2 W d x 2 = d d x c 0 2 x l 2

d 2 W d x 2 = c 0 2 l 2

Mas calma que cê já vai entender o porquê disso aí!

Passo 2

Outra coisa também que a gente sabe é que...

ω n 2 = N D

Onde N e D são duas constantes dadas por...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x

Viu aí! É por isso que a gente teve que tirar todas aquelas derivadas no P a s s o   1 !

Passo 3

Agora é só calcular...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x =

= E I ∫ 0 l c 0 2 l 2 2 d x = 4 c 0 l 4 ∫ 0 l 1 d x =

= 4 c 0 l 4 ∫ 0 l 1 d x =

= 4 c 0 l 4 x 0 l =

= 4 c 0 l 3

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x =

= ∫ 0 l ρ A c 0 x 2 l 2 2 d x = ρ c 0 A l 2 ∫ 0 l x 2 2 d x =

= ρ c 0 A l 2 ∫ 0 l x 4 d x =

= ρ c 0 A l 2 ⋅ x 5 5 0 l =

= ρ c 0 A l 3 5

E depois, substituir...

ω n 2 = N D

ω n 2 = 4 c 0 l 3 ρ c 0 A l 3 5 = 20 ρ A

Tirando a raiz...

ω n = 20 ρ A = 4,47 1 ρ A

Voilá! Obtemos a nossa resposta!

Resposta

ω n = 4,47 1 ρ A

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