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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 46

A estrutura de um edifício de um andar é modelada por um piso rígido de massa m e colunas de rigidez k , como mostra a Figura 3.51. Propōe-se que seja acrescentado um amortecedor mostrado na figura para absorver vibraçóes devido a um movimento horizontal do solo y ( t ) = Y c o s ⁡ ω t . Derive uma expressão para a constante de amortecimento do amortecedor que absorve potência máxima.

Passo 1

Eq (3.75) m z ¨ + c j ˙ + k z = - m y ¨ = m ω 2 Y c o s ⁡ ω t

Solução de estado estacionário

z ( t ) = m ω 2 Y c o s ⁡ ω t - ϕ 1 k - m ω 2 2 + ( ω ω ) 2 = Z c o s ⁡ ω t - ϕ 1

Em que ϕ 1 = t a n - 1 ⁡ c ω k - m ω 2

Força de amortecimento c  d z d t = - c ω Z s i n ⁡ ω t - ϕ 1

Passo 2

Energia absorvida por ciclo pelo amortecedor (E)

E = ∫ t = 0 2 π / ω   c d z d t ⋅ d z = ∫ 0 2 π / ω   - c ω Z s i n ⁡ ω t - ϕ 1 - ω z s i n ⁡ ω t - ϕ 1 d t

= c ω 2 z 2 ∫ 0 2 π / ω   s i n 2 ⁡ ω t - ϕ 1 d t = π c ω z 2

Uma vez que Z = m ω 2 Y / k - m ω 2 2 + ( c ω ) 2

E = π c ω m 2 ω 4 Y k - m ω 2 2 + c 2 ω 2

Para o poder máximo d E d c = 0

i.e.,  k - m ω 2 2 + c 2 ω 2 π ω 5 m 2 Y - π c o s 5 ⁡ m 2 Y 2 c ω 2 k - m ω 2 2 + c 2 ω 2 2 = 0

i.e.,  c = k - m ω 2 ω  .

Resposta

c = k - m ω 2 ω  

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